Integrality of $\mathrm{GL}_2\times\mathrm{GL}_2$ Rankin-Selberg integrals for ramified representations

Résumé technique : Intégralité des intégrales de Rankin-Selberg pour GL2 × GL2 dans le cas des représentations ramifiées

Énoncé du problème
L'article aborde la question de l'intégralité des intégrales zêta locales de Rankin-Selberg associées à des paires de représentations génériques tempérées irréductibles admissibles $\pi_1, \pi_2$ de $GL_2(F)$, où $F$ est une extension finie de $\mathbb{Q}_p$ ($p$ impair). Bien qu'il soit connu que l'intégrale locale de Rankin-Selberg $Z(\phi, g_1 W^{\text{new}}_{\pi_1}, g_2 W^{\text{new}}_{\pi_2}; s)$ se factorise sous la forme $L(\pi_1 \times \pi_2, s) \cdot \Phi(\dots; q^s)$, où $\Phi$ est une fonction rationnelle, la nature arithmétique des coefficients de $\Phi$ reste subtile.

Plus précisément, l'auteur note que la notion « naïve » d'intégralité échoue : même si les données d'entrée (fonction de Schwartz $\phi$ et éléments de groupe $g_1, g_2$) sont définies sur $\mathbb{Z}$, le polynôme résultant $\Phi$ n'a pas nécessairement ses coefficients dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres (éventuellement localisé en $p$). Le problème central consiste à identifier une notion affinée de « données intégrales » telle que l'intégrale zêta résultante, lorsqu'elle est divisée par le facteur $L$ local, produise un polynôme dont les coefficients appartiennent à un anneau arithmétique spécifique $A$. Cela est motivé par la nécessité d'établir des propriétés d'intégralité compatibles avec les coefficients de Fourier des nouvelles formes et de soutenir la théorie des systèmes d'Euler de Rankin-Selberg.

Méthodologie
L'approche repose sur une réinterprétation technique de l'intégrale de Rankin-Selberg et sur une réduction à l'étude de vecteurs de Whittaker nouveaux spécifiques.

1. Réinterprétation de l'intégrale : L'auteur construit un diagramme commutatif reliant l'intégrale zêta de Rankin-Selberg standard $Z_\Pi$ à une application linéaire $\Lambda_\Pi$ agissant sur un espace de fonctions compactement induites. Cela implique :

   • La définition d'une application $\Xi_c$ qui transforme le produit tensoriel de fonctions de Schwartz et de fonctions caractéristiques en un espace de fonctions sur $P(F) \backslash G(F) / K_\Pi$.
   • L'utilisation du développement en série (unfolding) de l'intégrale pour relier $Z_\Pi$ à une intégrale impliquant une fonction de Whittaker « nouvelle » $I^{\text{new}}_\Pi$.
   • L'établissement du fait que l'intégralité de l'intégrale zêta originale se réduit à l'intégralité du terme $I^{\text{new}}_\Pi(\gamma; s)$ évalué sur des représentants spécifiques de classes latérales $\gamma$, mis à l'échelle par l'inverse du volume du sous-groupe stabilisateur.

2. Analyse cas par cas : Le cœur de la preuve implique une analyse détaillée et exhaustive, cas par cas, du comportement des vecteurs de Whittaker nouveaux $W^{\text{new}}_\pi$ pour toutes les classes de représentations génériques irréductibles admissibles de $GL_2(F)$. L'auteur exploite des formules explicites pour ces vecteurs trouvées dans les travaux d'Assing [Ass19b, Ass19a] et de Saha [Sah16]. Les cas couverts incluent :

   • Les séries principales non ramifiées et ramifiées (demi-ramifiées, entièrement ramifiées).
   • Les représentations de Steinberg (tordues non ramifiées et ramifiées).
   • Les représentations supercuspidales (associées à des extensions quadratiques).
   • Tous les produits tensoriels possibles $\pi_1 \times \pi_2$ de ces types.

3. Sommes de Gauss et facteurs de volume : Dans chaque cas, l'auteur évalue les intégrales pertinentes, qui se réduisent souvent à des sommes de Gauss partielles ou à des sommes de Kloosterman généralisées. Une étape technique critique consiste à démontrer que les dénominateurs potentiels (spécifiquement les facteurs de $q-1$ issus des sommes de Gauss) sont toujours annulés par les facteurs de volume des sous-groupes stabilisateurs $P(F) \cap \gamma K_\Pi \gamma^{-1}$.

Contributions et résultats clés

• Définition des données intégrales : L'article introduit une notion naturelle de données $(\pi_1 \times \pi_2)$-intégrales. Une donnée $(\phi, g_1, g_2)$ est définie comme intégrale si la fonction de Schwartz $\phi$ prend ses valeurs dans un idéal principal spécifique déterminé par le volume du stabilisateur de $\phi$ intersecté avec le sous-groupe conducteur conjugué $K_\Pi$.
• Théorème A (Intégralité locale) : Pour toute paire de représentations génériques tempérées irréductibles admissibles, et pour toute donnée $\Pi$-intégrale, le polynôme $\Phi$ apparaissant dans la factorisation de l'intégrale zêta appartient à $A[X, X^{-1}]$, où $A$ est une $\mathbb{Z}[q^{-1}, \mu_{\nu}q^\tau]$-algèbre contenant les valeurs propres de Hecke sphériques et des caractères unitaires non ramifiés spécifiques déterminés par les représentations. Ici $\tau = \max(c(\pi_1), c(\pi_2))$ et $\nu$ dépend du fait que les représentations soient non ramifiées.
  • Ce résultat vaut pour $p=2$ sous l'hypothèse supplémentaire que les représentations supercuspidales sont diédrales.
• Théorème B (Application globale) : Le résultat local est appliqué aux formes automorphes globales. Pour des nouvelles formes propres cuspidales normalisées $f_1, f_2$ de poids pairs, l'intégrale globale de Rankin-Selberg $I(\phi_A, g_1 \phi_{f_1}, g_2 \phi_{f_2}; s)$ est montrée égale à $L(\pi_{f_1} \times \pi_{f_2}, s)$ multipliée par un polynôme $\Phi$ dont les coefficients appartiennent à l'anneau des entiers d'un corps de nombres spécifique $E_{f_1, f_2}$ (localisé aux nombres premiers d'un ensemble fini $S$).
• Formes trilinéaires : L'article établit un résultat d'intégralité pour la forme trilinéaire unique (à un scalaire près) dans $\text{Hom}_{GL_2(F)}(\pi_1 \otimes \pi_2 \otimes \pi_3, 1)$, réalisée via l'intégrale de Rankin-Selberg, montrant qu'elle prend ses valeurs dans l'anneau $A$ sur les vecteurs nouveaux intégraux.

Portée et affirmations
L'auteur affirme que ce travail fournit un « raffinement intégral » du résultat de Jacquet-Langlands concernant le plus grand commun diviseur des intégrales de Rankin-Selberg. La portée est double :

1. Théorie des représentations : Il résout la question de l'intégralité pour les représentations ramifiées, un cadre où l'intégralité naïve échoue. Le résultat est décrit comme un « problème naturel d'intérêt indépendant à travers le prisme des structures intégrales en théorie des représentations locale ».
2. Géométrie arithmétique : La notion de données intégrales introduite ici possède une interprétation géométrique algébrique globale. L'article note que les données localement intégrales correspondent précisément aux classes dans l'image de la cohomologie étale intégrale des courbes modulaires sous l'application de Loeffler-Skinner-Zerbes (LSZ). Par conséquent, le Théorème B est présenté comme le « résultat d'intégralité analogue du côté de la théorie des représentations » pour la théorie des systèmes d'Euler de Rankin-Selberg et des fonctions $L$ $p$-adiques.

L'article reste modeste concernant la réciproque : il reconnaît que bien que l'image de l'intégrale zêta sur les données intégrales soit contenue dans l'idéal fractionnaire principal engendré par le facteur $L$, il n'est pas encore connu si cette image est l'idéal entier ou si elle est principale. Cela est identifié comme un problème ouvert avec des implications potentielles pour l'optimisation des facteurs locaux dans la théorie des systèmes d'Euler.