Integrality of $\mathrm{GL}_2\times\mathrm{GL}_2$ Rankin-Selberg integrals for ramified representations

技術的概要：分岐表現に対する GL2 × GL2 ランキン・セルバーグ積分の整数性

問題提起
本論文は、$F$ が $\mathbb{Q}_p$ ($p$ は奇素数) の有限拡大であるとき、$GL_2(F)$ の既約可許一般化された tempered 表現の対 $\pi_1, \pi_2$ に関連する局所ランキン・セルバーグゼータ積分の整数性に関する問いに答えるものである。局所ランキン・セルバーグ積分 $Z(\phi, g_1 W^{\text{new}}_{\pi_1}, g_2 W^{\text{new}}_{\pi_2}; s)$ は、$L(\pi_1 \times \pi_2, s) \cdot \Phi(\dots; q^s)$ と因数分解されることが知られている（ここで $\Phi$ は有理関数である）が、$\Phi$ の係数の算術的性質は微妙なものである。

具体的には、著者は「単純な」整数性の概念が失敗することを指摘している。入力データ（シュワルツ関数 $\phi$ と群要素 $g_1, g_2$）が $\mathbb{Z}$ 上で定義されていても、得られる多項式 $\Phi$ の係数が必ずしも数体の整数環（$p$ において局所化されたものを含む）に含まれるわけではない。中心的な問題は、結果としてのゼータ積分を局所 $L$ 因子で割ったときに、特定の算術環 $A$ に係数を持つ多項式を与えるような「整数データ」の洗練された概念を特定することである。これは、新しい形式のフーリエ係数と整合する整数性の性質を確立し、ランキン・セルバーグオイラー系の理論を支援する必要性に動機付けられている。

手法
このアプローチは、ランキン・セルバーグ積分の技術的な再解釈と、特定のウィッター・ニューベクトルの研究への帰着に依存している。

1. 積分の再解釈: 著者は、標準的なランキン・セルバーグゼータ積分 $Z_\Pi$ を、コンパクトに誘導された関数の空間に作用する線形写像 $\Lambda_\Pi$ に関連付ける可換図式を構成する。これには以下が含まれる：

   • シュワルツ関数と特性関数のテンソル積を $P(F) \backslash G(F) / K_\Pi$ 上の関数の空間に変換する写像 $\Xi_c$ の定義。
   • 積分の展開を利用して、$Z_\Pi$ を「新しい」ウィッター関数 $I^{\text{new}}_\Pi$ を含む積分に関連付けること。
   • 元のゼータ積分の整数性が、安定化部分群の逆体積でスケーリングされた特定の剰余類代表元 $\gamma$ 上で評価された項 $I^{\text{new}}_\Pi(\gamma; s)$ の整数性に帰着されることを確立すること。

2. ケースバイケースの分析: 証明の核心は、$GL_2(F)$ の既約可許一般化された表現のすべてのクラスに対するウィッター・ニューベクトル $W^{\text{new}}_\pi$ の振る舞いに関する詳細かつ網羅的なケースバイケースの分析である。著者は、Assing [Ass19b, Ass19a] および Saha [Sah16] の業績に見られるこれらのベクトルの明示的な公式を利用する。対象となるケースには以下が含まれる：

   • 非分岐および分岐の主系列表現（半分岐、完全分岐）。
   • スティンバーグ表現（非分岐および分岐のねじれ）。
   • 二次拡大に関連する超尖点表現。
   • これらのタイプのすべての可能なテンソル積 $\pi_1 \times \pi_2$。

3. ガウス和と体積因子: 各ケースにおいて、著者は関連する積分を評価する。これらはしばしば部分的なガウス和または一般化されたクロステルマン和に帰着される。重要な技術的ステップは、潜在的な分母（ガウス和に由来する $q-1$ の因子）が、安定化部分群 $P(F) \cap \gamma K_\Pi \gamma^{-1}$ の体積因子によって常に打ち消されることを示すことである。

主要な貢献と結果

• 整数データの定義: 本論文は、$(\pi_1 \times \pi_2)$-整数データの自然な概念を導入する。データ $(\phi, g_1, g_2)$ は、シュワルツ関数 $\phi$ の値が、$\phi$ の安定化子と共役化された導手部分群 $K_\Pi$ との交わりによって決定される特定の主イデアルに含まれる場合に、整数的であると定義される。
• 定理 A（局所整数性）: 任意の既約可許一般化された tempered 表現の対および任意の $\Pi$-整数データに対して、ゼータ積分の因数分解に現れる多項式 $\Phi$ は $A[X, X^{-1}]$ に属する。ここで $A$ は、球面ヘッケ固有値と表現によって決定される特定の非分岐ユニタリ指標を含む $\mathbb{Z}[q^{-1}, \mu_{\nu}q^\tau]$-代数である。ここで $\tau = \max(c(\pi_1), c(\pi_2))$ であり、$\nu$ は表現が非分岐かどうかによって依存する。
  • この結果は、超尖点表現が二面体であるという追加の仮定の下で $p=2$ についても成り立つ。
• 定理 B（大域的応用）: 局所結果は大域的な自己同型形式に適用される。偶数重みの正規化された尖点的新しい固有形式 $f_1, f_2$ に対して、大域的ランキン・セルバーグ積分 $I(\phi_A, g_1 \phi_{f_1}, g_2 \phi_{f_2}; s)$ は、$L(\pi_{f_1} \times \pi_{f_2}, s)$ に、特定の数体 $E_{f_1, f_2}$ の整数環（有限集合 $S$ の素数において局所化されたもの）に係数を持つ多項式 $\Phi$ を掛けたものに等しいことが示される。
• 三重線形形式: 本論文は、ランキン・セルバーグ積分を通じて実現される $\text{Hom}_{GL_2(F)}(\pi_1 \otimes \pi_2 \otimes \pi_3, 1)$ 内の（スカラー倍を除いて）一意な三重線形形式に関する整数性結果を確立し、それが整数的新ベクトル上で環 $A$ に値をとることを示す。

意義と主張
著者は、この仕事がランキン・セルバーグ積分の最大公約数に関するジャケ・ラングランズの結果に対する「整数化された洗練」を提供すると主張している。その意義は二重である：

1. 表現論的: 単純な整数性が失敗する分岐表現の文脈における整数性の問いを解決する。この結果は、「局所表現論における整数構造のレンズを通じた独立した関心を持つ自然な問題」として記述される。
2. 算術幾何学: ここで導入された整数データの概念は、大域的な代数幾何学的解釈を持つ。本論文は、局所的に整数的なデータが、ロイフェラー・スキナー・ゼルベス（LSZ）写像の下でのモジュラー曲線の整数エタールコホモロジーの像のクラスと正確に対応することを指摘している。したがって、定理 B は、ランキン・セルバーグオイラー系および $p$ 進 $L$ 関数の理論に対する「表現論的側面における類似の整数性結果」として提示される。

本論文は逆命題については控えめである：整数データ上のゼータ積分の像が $L$ 因子によって生成される主分数イデアルに含まれることは認めつつも、この像が完全なイデアルであるか、あるいは主イデアルであるかは未だ不明であると認めている。これは、オイラー系理論における局所因子の最適化に対する潜在的な帰結を伴う未解決問題として特定されている。