The Stochastic Siren: Astrophysical Gravitational-Wave Background Measurements of the Hubble Constant

技术摘要：随机西伦（The Stochastic Siren）：利用天体物理引力波背景测量哈勃常数

问题陈述
本文探讨了“哈勃张力（Hubble tension）”问题，即早期宇宙测量结果（$H_0 \approx 67\text{--}68 \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$）与晚期宇宙测量结果（$H_0 \approx 72\text{--}74 \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$）之间显著的差异（$>5\sigma$）。虽然引力波“标准西伦”（单个解析合并事件）为测量 $H_0$ 提供了一种独立的途径，但目前由 LIGO-Virgo-KAGRA (LVK) 合作组利用谱西伦（spectral siren）方法（通过质量谱特征）得到的约束仍然较宽（$H_0 = 46^{+49}_{-26} \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$）。此外，由未解析的恒星级双黑洞（BBH）并合产生的随机引力波背景（GWB）尚未被探测到。作者研究了这种背景的“未探测到”是否仍能提供宇宙学约束，特别是针对 $H_0$ 的约束，其原理在于利用该背景对宇宙膨胀历史的依赖性。

方法论
作者提出了一种被称为“随机西伦（stochastic siren）”的新方法，该方法结合了观测到的前景（FG）BBH 并合的似然度与未解析背景（BG）GWB 信号的似然度。

1. GWB 的宇宙学依赖性： 无量纲引力波能量密度 $\Omega_{\text{gw}}$ 被推导为与 $H_0$ 成反比。具体而言，$\Omega_{\text{gw}} \propto H_0^{-3}$（假设并合率密度固定）。较低的 $H_0$ 意味着更大的共动体积，从而导致更高积分数量的并合，进而产生更强的 $\Omega_{\text{gw}}$。相反，较高的 $H_0$ 则会导致较弱的信号。因此，对 GWB 的未探测到（即 $\Omega_{\text{gw}}$ 的上限）可以排除那些会预测出可探测背景的较低 $H_0$ 值。
2. 似然构造：
   • 前景（$L_{\text{FG}}$）： 通过不均匀泊松分布对来自 GWTC-3 的 42 个已解析 BBH 的观测目录进行建模，该分布取决于参数集（$\vec{\lambda}$）和 $H_0$。
   • 背景（$L_{\text{BG}}$）： 用于搜索 GWB 的互相关统计量 $\hat{C}$ 的似然度被建模为高斯分布。该似然度取决于预测的 $\Omega_{\text{gw}}(\vec{\lambda}, H_0)$。作者利用现有的 LVK 搜索中关于 $\Omega_{\text{gw}}$ 的上限来构建此似然度，并假设 $\Omega_{\text{gw}}$ 具有均匀先验。
   • 联合似然： 假设前景与背景信号之间是独立的（由于已解析并合对总 $\Omega_{\text{gw}}$ 上限的贡献微乎其微，约为 $0.3\%$，这一假设是合理的），联合似然度为 $L_{\text{joint}} = L_{\text{FG}} L_{\text{BG}}$。
3. 总体模型： 分析采用了 12 个超参数来对 BBH 总体进行建模：使用 PowerLaw+Peak 模型对质量分布进行建模（8 个参数），以及使用 Madau-Dickinson 函数形式对红移演化进行建模（4 个参数）。
4. 推断： 作者利用嵌套采样（通过 bilby 中的 dynesty 采样器）在 15 个参数（12 个总体参数 + 3 个宇宙学参数：$H_0, \Omega_{m,0}, w_0$）上进行贝叶斯推断。他们利用从之前的 GWTC-3 总体分析中导出的核密度估计（KDE）来高效地评估前景似然度。

关键结果

• 提高精度： 联合“随机西伦”测量比仅使用谱西伦方法得到的 $H_0$ 约束更为紧凑。联合测量的最大后验概率（MAP）为 $H_0 = 72^{+44}_{-37} \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$，而仅进行前景分析的结果为 $57^{+43}_{-35} \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$，谱西伦方法的结果为 $46^{+49}_{-26} \text{ km s}^{-1} \text{ Mpc}^{-1}$。
• 后验偏移： 加入 GWB 的未探测到信息使后验分布向较高的 $H_0$ 值偏移，使引力波测量结果与晚期宇宙电磁观测（SH0ES）更为一致，同时在较大的不确定性范围内仍与早期宇宙测量（Planck）保持一致。
• 下限机制： 作者证明了 GWB 的未探测到实际上为 $H_0$ 设置了一个下限。随着观测时间的增加，如果 GWB 仍未被探测到，这个下限将逐步上升，从而提高测量的精度。
• 参数约束： 虽然加入 GWB 的未探测到信息改善了 $H_0$ 的约束，但在当前数据灵敏度下，它并未显著收紧其他总体参数（质量分布）或宇宙学参数（$\Omega_{m,0}, w_0$）的约束。

意义与主张
本文声称展示了首次利用随机引力波背景进行的 $H_0$ 测量。其主要意义在于证明了背景信号的“缺失”是一种强大的宇宙学探测手段。“随机西伦”在解决哈勃张力方面提供了独特的作用，因为：

1. 它完全独立于电磁观测和宇宙距离阶梯。
2. 它提供了一种机制，可以在背景被直接探测到之前，通过持续的未探测结果从下方逐步约束 $H_0$，从而可能在探测到背景之前就探测到张力。
3. 它补充了现有的“标准西伦”和“谱西伦”方法。

作者指出，由于他们仅考虑了 BBH 对 GWB 的贡献，因此其结果是保守的，因为实际的背景可能包含其他来源（例如中子星双星），这将增加 $\Omega_{\text{gw}}$ 并进一步收紧 $H_0$ 的约束。未来预测表明，随着探测器升级（如 A#），GWB 可能在不到一年的时间内以 8 的信噪比被探测到，届时随机西伦方法将产生更强的宇宙学约束。