On the arithmetic properties of partitions into parts simultaneously $4$-regular and $9$-distinct

技术摘要：同时满足 4-正则与 9-不同部分的划分函数的算术性质

问题陈述
本文研究了划分函数 $RD(\ell, t)(n)$ 的算术性质，该函数计算将整数 $n$ 划分为同时满足 $\ell$-正则（部分不被 $\ell$ 整除）且 $t$-不同（每个部分出现的次数少于 $t$ 次）的划分数。虽然作者及其他学者此前已对各种 $(\ell, t)$ 对进行了研究，但本研究专门针对 $(\ell, t) = (4, 9)$ 的情况。函数 $RD(4, 9)(n)$对应于整数数列 A187020（偏移一项）。主要目标是建立$RD(4, 9)(n)$ 模 4、6、12 和 24 的无穷族同余式以及类拉马努金（Ramanujan-like）同余式。

方法论
作者利用 $q$-级数和生成函数理论来推导其结果。核心方法包括：

1. 生成函数分解： 利用已知的西塔函数（theta functions）和乘积 $f_k = (q^k; q^k)_\infty$ 的分解公式。具体而言，本文依赖于用于 2-分解（引理 2.1）、5-分解（引理 2.2）以及归功于拉马努金、Cui、Gu 等人的西塔函数一般素数分解（引理 2.3 和 2.4）。
2. 模约减： 应用同余式 $f_{p^k} \equiv f_{p^{k-1}} \pmod{p^k}$（引理 2.5）在特定整数下简化生成函数。
3. 系数提取： 系统地从分解公式中提取具有特定 $q$ 次幂（例如 $q^{pn+i}$）的项，以隔离划分函数的子序列。
4. 二次剩余分析： 分析涉及二次剩余的同余式（例如 $(6k+1)^2 + (6m+1)^2 \equiv 0 \pmod p$），以证明对于满足特定条件（如 $p \equiv 3 \pmod 4$ 或 $p \equiv 5 \pmod 6$）的特定素数 $p$，某些系数为零。
5. 数学归纳法： 利用特定系数的消失，通过对指数 $\alpha$ 的归纳法建立无穷族同余式。

主要贡献与结果

• 模 4：
  本文为素数 $p \equiv 3 \pmod 4$ 建立了无穷族同余式。对于任何 $\alpha \ge 0$，$n \ge 0$ 以及 $1 \le i \le p-1$：
  $$RD(4, 9)(12p^{2\alpha+1}(pn + i) + p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 4.$$
  该结果是通过将 $RD(4, 9)(12n+2)$与$f_1^2$的系数联系起来，并利用特定二次同余式在模$p$ 下不存在非平凡解来推导出的。

• 模 6：
  本文证明了关于 5 的幂次的无穷族同余式。对于所有 $\alpha \ge 0$ 和 $n \ge 0$：
  $$RD(4, 9)(6 \cdot 5^{2\alpha+2}n + 6 \cdot 5^{2\alpha+1}i + 5^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 6,$$
  其中 $i \in \{1, 2, 3, 4\}$。这是通过分解 $RD(4, 9)(6n+2)$的生成函数并应用拉马努金函数$f_1$ 的 5-分解来实现的。

• 模 12：
  对于素数 $p \equiv 5 \pmod 6$，作者证明了对于所有 $\alpha \ge 0$，$n \ge 0$ 以及 $1 \le i \le p-1$：
  $$RD(4, 9)(6p^{2\alpha+1}(pn + i) + 3p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod{12}.$$
  证明过程涉及分析西塔函数乘积 $\psi(q)\psi(q^3)$，并表明当指数满足与 $-3$ 的二次非剩余相关的模条件时，系数为零。

• 模 24（类拉马努金同余式）：
  本文建立了不依赖于无穷族参数、而是对所有 $n \ge 0$ 均成立的特定类拉马努金同余式：
  $$RD(4, 9)(24n + 23) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(48n + 29) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(96n + 89) \equiv 0 \pmod{24}.$$
  这些是通过对 $RD(4, 9)(6n+5)$ 的生成函数进行提取偶次幂和奇次幂，并应用 2-分解公式而严谨推导出的。

意义与范围
本文声称对 $RD(4, 9)(n)$ 的算术行为进行了“深入调查”。其意义在于扩展了对同时满足正则与不同部分的划分的研究，这一课题由 Keith 开启，并由作者此前进行了探索。通过建立这些同余式，作者为理解具有多重约束的划分函数的整除性质做出了贡献。这项工作被视为作者之前研究 [13] 的延续，提供了新的无穷族和特定的同余式，补充了早期的发现。本文并未提出超出该序列本身算术性质之外的新组合解释或应用。