On the arithmetic properties of partitions into parts simultaneously $4$-regular and $9$-distinct

Resumen Técnico: Propiedades Aritméticas de las Particiones en Partes Simultáneamente 4-Regulares y 9-Distintas

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga las propiedades aritméticas de la función de partición $RD(\ell, t)(n)$, que cuenta el número de particiones de un entero $n$ en partes que son simultáneamente $\ell$-regulares (ninguna parte es divisible por $\ell$) y $t$-distintas (cada parte aparece menos de $t$ veces). Si bien el trabajo previo de los autores y otros ha explorado varios pares de $(\ell, t)$, este estudio se centra específicamente en el caso $(\ell, t) = (4, 9)$. La función $RD(4, 9)(n)$ corresponde a la secuencia A187020 en la Enciclopedia en Línea de Secuencias Enteras (desplazada un término). El objetivo principal es establecer familias infinitas de congruencias y congruencias de tipo Ramanujan para $RD(4, 9)(n)$ módulo 4, 6, 12 y 24.

Metodología
Los autores emplean la teoría de series $q$ y funciones generatrices para derivar sus resultados. La metodología central consiste en:

1. Dissecciones de Funciones Generatrices: Utilizar fórmulas de disección conocidas para funciones theta y productos de $f_k = (q^k; q^k)_\infty$. Específicamente, el artículo se basa en disecciones de 2 (Lema 2.1), disecciones de 5 (Lema 2.2) y disecciones de primos generales para funciones theta (Lemmas 2.3 y 2.4) atribuidas a Ramanujan, Cui, Gu y otros.
2. Reducciones Modulares: Aplicar la congruencia $f_{p^k} \equiv f_{p^{k-1}} \pmod{p^k}$ (Lema 2.5) para simplificar las funciones generatrices módulo enteros específicos.
3. Extracción de Coeficientes: Extraer sistemáticamente términos con potencias específicas de $q$ (por ejemplo, $q^{pn+i}$) de las fórmulas de disección para aislar subsecuencias de la función de partición.
4. Análisis de Residuos Cuadráticos: Analizar congruencias que involucran residuos cuadráticos (por ejemplo, $(6k+1)^2 + (6m+1)^2 \equiv 0 \pmod p$) para demostrar que ciertos coeficientes se anulan para primos específicos $p$ que satisfacen condiciones como $p \equiv 3 \pmod 4$ o $p \equiv 5 \pmod 6$.
5. Inducción Matemática: Utilizar la anulación de coeficientes específicos para establecer familias infinitas de congruencias mediante inducción sobre el exponente $\alpha$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Módulo 4:
  El artículo establece una familia infinita de congruencias para primos $p \equiv 3 \pmod 4$. Para cualquier $\alpha \ge 0$, $n \ge 0$ y $1 \le i \le p-1$:
  $$RD(4, 9)(12p^{2\alpha+1}(pn + i) + p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 4.$$
  Este resultado se deriva relacionando $RD(4, 9)(12n+2)$ con los coeficientes de $f_1^2$ y utilizando la inexistencia de soluciones no triviales para congruencias cuadráticas específicas módulo $p$.

• Módulo 6:
  Se demuestra una familia infinita de congruencias para potencias de 5. Para todo $\alpha \ge 0$ y $n \ge 0$:
  $$RD(4, 9)(6 \cdot 5^{2\alpha+2}n + 6 \cdot 5^{2\alpha+1}i + 5^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 6,$$
  donde $i \in \{1, 2, 3, 4\}$. Esto se logra diseccionando la función generatriz de $RD(4, 9)(6n+2)$ y aplicando la disección de 5 de la función $f_1$ de Ramanujan.

• Módulo 12:
  Para primos $p \equiv 5 \pmod 6$, los autores demuestran que para todo $\alpha \ge 0$, $n \ge 0$ y $1 \le i \le p-1$:
  $$RD(4, 9)(6p^{2\alpha+1}(pn + i) + 3p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod{12}.$$
  La prueba implica analizar el producto de funciones theta $\psi(q)\psi(q^3)$ y mostrar que los coeficientes se anulan cuando el exponente satisface condiciones modulares específicas relacionadas con los no residuos cuadráticos de $-3$.

• Módulo 24 (Congruencias de tipo Ramanujan):
  El artículo establece congruencias específicas de tipo Ramanujan que no dependen de un parámetro de familia infinita, sino que se cumplen para todo $n \ge 0$:
  $$RD(4, 9)(24n + 23) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(48n + 29) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(96n + 89) \equiv 0 \pmod{24}.$$
  Estas se derivan mediante un proceso riguroso de extracción de potencias pares e impares de la función generatriz de $RD(4, 9)(6n+5)$ y la aplicación de fórmulas de disección de 2.

Significancia y Alcance
El artículo afirma proporcionar una "investigación exhaustiva" del comportamiento aritmético de $RD(4, 9)(n)$. Su significancia radica en extender el estudio de las particiones que son simultáneamente regulares y distintas, un tema iniciado por Keith y explorado previamente por los autores. Al establecer estas congruencias, los autores contribuyen a la comprensión más amplia de las propiedades de divisibilidad de las funciones de partición con múltiples restricciones. El trabajo se presenta como una continuación de la investigación previa de los autores [13], ofreciendo nuevas familias infinitas y congruencias específicas que complementan hallazgos anteriores. El artículo no propone nuevas interpretaciones combinatorias o aplicaciones más allá de las propiedades aritméticas de la secuencia misma.