On the arithmetic properties of partitions into parts simultaneously $4$-regular and $9$-distinct

Resumo Técnico: Propriedades Aritméticas de Partições em Partes Simultaneamente 4-Regulares e 9-Distintas

Enunciado do Problema
Este artigo investiga as propriedades aritméticas da função de partição $RD(\ell, t)(n)$, que conta o número de partições de um inteiro $n$ em partes que são simultaneamente $\ell$-regulares (nenhuma parte é divisível por $\ell$) e $t$-distintas (cada parte aparece menos de $t$ vezes). Embora trabalhos anteriores dos autores e de outros tenham explorado vários pares de $(\ell, t)$, este estudo foca especificamente no caso $(\ell, t) = (4, 9)$. A função $RD(4, 9)(n)$ corresponde à sequência A187020 na Enciclopédia Online de Sequências Inteiras (deslocada em um termo). O objetivo principal é estabelecer famílias infinitas de congruências e congruências do tipo Ramanujan para $RD(4, 9)(n)$ módulo 4, 6, 12 e 24.

Metodologia
Os autores empregam a teoria de $q$-séries e funções geratrizes para derivar seus resultados. A metodologia central envolve:

1. Dissecações de Funções Geratrizes: Utilizar fórmulas de dissecação conhecidas para funções theta e produtos de $f_k = (q^k; q^k)_\infty$. Especificamente, o artigo baseia-se em 2-dissecações (Lema 2.1), 5-dissecações (Lema 2.2) e dissecações de primos gerais para funções theta (Lemmas 2.3 e 2.4) atribuídas a Ramanujan, Cui, Gu e outros.
2. Reduções Modulares: Aplicar a congruência $f_{p^k} \equiv f_{p^{k-1}} \pmod{p^k}$ (Lema 2.5) para simplificar as funções geratrizes módulo inteiros específicos.
3. Extração de Coeficientes: Extrair sistematicamente termos com potências específicas de $q$ (por exemplo, $q^{pn+i}$) das fórmulas de dissecação para isolar subsequências da função de partição.
4. Análise de Resíduos Quadráticos: Analisar congruências envolvendo resíduos quadráticos (por exemplo, $(6k+1)^2 + (6m+1)^2 \equiv 0 \pmod p$) para demonstrar que certos coeficientes desaparecem para primos específicos $p$ que satisfazem condições como $p \equiv 3 \pmod 4$ ou $p \equiv 5 \pmod 6$.
5. Indução Matemática: Usar o desaparecimento de coeficientes específicos para estabelecer famílias infinitas de congruências via indução sobre o expoente $\alpha$.

Principais Contribuições e Resultados

• Módulo 4:
  O artigo estabelece uma família infinita de congruências para primos $p \equiv 3 \pmod 4$. Para qualquer $\alpha \ge 0$, $n \ge 0$ e $1 \le i \le p-1$:
  $$RD(4, 9)(12p^{2\alpha+1}(pn + i) + p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 4.$$
  Este resultado é derivado ao relacionar $RD(4, 9)(12n+2)$ aos coeficientes de $f_1^2$ e utilizar a não existência de soluções não triviais para congruências quadráticas específicas módulo $p$.

• Módulo 6:
  Uma família infinita de congruências é provada para potências de 5. Para todos $\alpha \ge 0$ e $n \ge 0$:
  $$RD(4, 9)(6 \cdot 5^{2\alpha+2}n + 6 \cdot 5^{2\alpha+1}i + 5^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod 6,$$
  onde $i \in \{1, 2, 3, 4\}$. Isso é alcançado dissecando a função geratriz de $RD(4, 9)(6n+2)$ e aplicando a 5-dissecação da função $f_1$ de Ramanujan.

• Módulo 12:
  Para primos $p \equiv 5 \pmod 6$, os autores provam que para todos $\alpha \ge 0$, $n \ge 0$ e $1 \le i \le p-1$:
  $$RD(4, 9)(6p^{2\alpha+1}(pn + i) + 3p^{2\alpha+2} + 1) \equiv 0 \pmod{12}.$$
  A prova envolve a análise do produto de funções theta $\psi(q)\psi(q^3)$ e mostrar que os coeficientes desaparecem quando o expoente satisfaz condições modulares específicas relacionadas a não resíduos quadráticos de $-3$.

• Módulo 24 (Congruências do tipo Ramanujan):
  O artigo estabelece congruências específicas do tipo Ramanujan que não dependem de um parâmetro de família infinita, mas que se mantêm para todo $n \ge 0$:
  $$RD(4, 9)(24n + 23) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(48n + 29) \equiv 0 \pmod{24},$$
  $$RD(4, 9)(96n + 89) \equiv 0 \pmod{24}.$$
  Estas são derivadas através de um processo rigoroso de extração de potências pares e ímpares da função geratriz de $RD(4, 9)(6n+5)$ e aplicação de fórmulas de 2-dissecação.

Significância e Escopo
O artigo afirma fornecer uma "investigação minuciosa" do comportamento aritmético de $RD(4, 9)(n)$. Sua significância reside em estender o estudo de partições que são simultaneamente regulares e distintas, um tópico iniciado por Keith e anteriormente explorado pelos próprios autores. Ao estabelecer estas congruências, os autores contribuem para a compreensão mais ampla das propriedades de divisibilidade de funções de partição com múltiplas restrições. O trabalho é apresentado como uma continuação da pesquisa anterior dos autores [13], oferecendo novas famílias infinitas e congruências específicas que complementam descobertas anteriores. O artigo não propõe novas interpretações combinatórias ou aplicações além das propriedades aritméticas da própria sequência.