Free-surface Stokes problem: stability estimates and time-step improvements

技术摘要：自由表面 Stokes 问题：稳定性估计与时间步长改进

问题陈述
高粘性自由表面流（如冰盖动力学、地幔对流和熔岩流）的精确模拟需要求解耦合的 Stokes/自由表面方程。这些问题的特征是运动区域，其中流体速度和压力与自由表面高度的演化相耦合。虽然使用空间有限元和 Euler 时间方法的标准离散化方法很常见，但它们往往受到严重的稳定性限制。具体而言，显式和半隐式 Euler 方案通常需要极小的时间步长才能保持稳定，从而导致极高的计算成本。现有的稳定化技术，如自由表面稳定化算法（FSSA），虽然改善了时间步长，但缺乏先验的理论稳定性界限，且无法保证无条件稳定或体积守恒。

方法论
作者对牛顿流体和非牛顿流体（幂律粘度）的耦合 Stokes/自由表面系统进行了严谨的稳定性与守恒性质理论分析。分析在两个层面上进行：

1. 连续层面： 作者推导了一个总能量平衡方程，该方程将 Stokes 动量方程的能量与自由表面高度的能量耦合在一起。该推导依赖于建立自由表面平流项与表面积分之间的特定关系，并随后将其与 Stokes 方程中的重力项联系起来。
2. 离散层面： 研究考察了使用空间有限元结合显式、半隐式和隐式 Euler 时间步进的全离散方案。
   • 正则化： 为了解决自由表面高度函数缺乏固有正则性（这是 Stokes 问题适定性所必需的）的问题，作者引入了一个高阶边稳定项 $J(s^{n+1}, w)$，并在时间上进行隐式处理。
   • 稳定化方案建议： 受显式 Euler 方法能量估计中存在“伪项”的启发，作者提出了一种添加到 Stokes 弱形式中的新稳定化项。该项通过惩罚自由表面的法向速度，旨在精确抵消由自由表面方程的显式处理所产生的失稳项。

核心贡献

• 总能量平衡： 本文为耦合 Stokes/自由表面系统推导了一种新型的总能量平衡，将动量能量与表面高度能量耦合。这被确定为理解稳定性的基本构建模块，而此前文献中缺失了这一部分。
• 理论稳定性证明：
  • 隐式 Euler： 被证明对于时间步长是无条件稳定的（假设表面高度满足 Lipschitz 连续性），并且能够守恒区域体积。
  • 显式 Euler（未稳定化）： 被证明在任何时间步长下在总能量范数下都是不稳定的，原因在于与法向表面速度相关的伪项。
  • 半隐式 Euler (FSSA)： 被证明仅是条件稳定的，并且关键在于，被证明不能守恒区域体积。
  • 提议的稳定化显式 Euler： 作者证明，其提出的稳定化项使得显式 Euler 方法对于时间步长是无条件稳定的（在 Lipschitz 连续性假设下），同时保持了区域体积。
• 体积守恒： 本文提供了理论证明和数值验证，表明所提议的稳定化显式方案可以守恒区域体积，而 FSSA 稳定化的半隐式方案则不能。

结果
使用开源库 FEniCS 对包括基于格陵兰冰盖数据的复杂几何形状在内的牛顿流体和非牛顿流体案例进行了数值实验。

• 稳定性： 未稳定化的显式 Euler 方案在所有测试的时间步长下均不稳定。FSSA 稳定化方案（包括半隐式和显式）是条件稳定的，在较大的时间步长下会失效。相比之下，所提议的 EE-Stabilized 方案在牛顿和非牛顿情况下，对于任意大的时间步长均保持稳定。
• 体积守恒： EE-Stabilized 方案将区域体积守恒至机器精度。SIE-FSSA 方案未能守恒体积，证实了理论发现。
• 精度： 收敛性测试表明，所提议的稳定化项与离散化问题是一致的。在网格和时间步长同时细化的条件下，EE-Stabilized 方案在表面高度和速度方面保持了一阶精度，其误差与其它稳定化方案相当或更小。
• 振荡： 隐式边稳定项有效地抑制了自由表面高度中的高频振荡，且未引入额外的步长限制。

意义与主张
本文声称，所提议的稳定化显式 Euler 方案为计算昂贵的隐式求解器提供了一个鲁棒且高效的替代方案。通过在理论上保证对时间步长的无条件稳定性并确保体积守恒，该方法使得即使在复杂几何形状和源项存在的情况下，也能实现稳定的自由表面流模拟。作者强调，其稳定化方法是首个在理论上保证显式 Euler 离散化该耦合问题具有任意时间步长的方案。该方法具有对称性（有利于迭代求解器）、实现简单且无需调节参数。作者总结道，尽管其分析假设表面高度满足 Lipschitz 连续性，但在应用适当的正则化后，推导出的 $L^2$ 范数稳定性估计是实现适定性的必要基础。未来的工作建议探索用于适定性的正则化项，并将此稳定性分析扩展到 Navier-Stokes/自由表面问题及高阶时间积分器。