Free-surface Stokes problem: stability estimates and time-step improvements

Résumé technique : Problème de Stokes à surface libre : estimations de stabilité et améliorations du pas de temps

Énoncé du problème
La simulation précise des écoulements à surface libre hautement visqueux, tels que la dynamique des calottes glaciaires, la convection mantélique et les coulées de lave, nécessite la résolution des équations couplées de Stokes/surface libre. Ces problèmes sont caractérisés par un domaine mobile où la vitesse du fluide et la pression sont couplées à l'évolution de la hauteur de la surface libre. Bien que les discrétisations standards utilisant des éléments finis dans l'espace et des méthodes d'Euler dans le temps soient courantes, elles souffrent souvent de contraintes de stabilité sévères. Plus précisément, les schémas d'Euler explicites et semi-implicites nécessitent souvent des pas de temps extrêmement petits pour rester stables, ce qui entraîne des coûts de calcul prohibitifs. Les techniques de stabilisation existantes, telles que l'algorithme de stabilisation de la surface libre (FSSA), améliorent la taille des pas de temps mais manquent de bornes théoriques a priori sur la stabilité et ne garantissent ni la stabilité inconditionnelle ni la conservation du volume.

Méthodologie
Les auteurs présentent une analyse théorique rigoureuse de la stabilité et des propriétés de conservation du système couplé Stokes/surface libre pour les fluides newtoniens et non newtoniens (viscosité de loi de puissance). L'analyse est menée à deux niveaux :

1. Niveau continu : Les auteurs dérivent un bilan d'énergie totale qui couple l'énergie des équations de quantité de mouvement de Stokes avec l'énergie de l'équation de la hauteur de la surface libre. Cette dérivation repose sur l'établissement de relations spécifiques entre le terme d'advection de la surface libre et les intégrales de surface, puis sur le lien établi avec le terme de gravité dans les équations de Stokes.
2. Niveau discret : L'étude examine des schémas entièrement discrets utilisant des éléments finis dans l'espace combinés à des méthodes d'Euler explicite, semi-implicite et implicite pour le pas de temps.
   • Régularisation : Pour remédier au manque de régularité intrinsèque de la fonction de hauteur de la surface libre (nécessaire à la bijectivité du problème de Stokes), les auteurs introduisent un terme de stabilisation de bord de haut ordre, $J(s^{n+1}, w)$, traité de manière implicite dans le temps.
   • Proposition de stabilisation : Motivés par l'identification de termes « parasites » dans les estimations d'énergie de la méthode d'Euler explicite, les auteurs proposent un nouveau terme de stabilisation ajouté à la forme faible de Stokes. Ce terme pénalise la vitesse normale à la surface libre et est conçu pour annuler précisément les termes déstabilisants provenant du traitement explicite de l'équation de la surface libre.

Contributions clés

• Bilan d'énergie totale : L'article dérive un nouveau bilan d'énergie totale pour le système couplé Stokes/surface libre, couplant l'énergie de la quantité de mouvement avec l'énergie de la hauteur de surface. Ceci est identifié comme un bloc fondamental pour comprendre la stabilité, ce qui faisait défaut dans la littérature.
• Preuves de stabilité théorique :
  • Euler implicite : Prouvé être inconditionnellement stable par rapport à la taille du pas de temps (en supposant la continuité lipschitzienne de la hauteur de surface) et à la conservation du volume du domaine.
  • Euler explicite (non stabilisé) : Prouvé être instable dans la norme d'énergie totale pour tout pas de temps en raison de termes parasites liés à la vitesse normale de la surface.
  • Euler semi-implicite (FSSA) : Montré comme étant seulement conditionnellement stable et, de manière critique, prouvé comme ne conservant pas le volume du domaine.
  • Euler explicite stabilisé proposé : Les auteurs prouvent que leur nouveau terme de stabilisation rend la méthode d'Euler explicite inconditionnellement stable par rapport à la taille du pas de temps (sous l'hypothèse de continuité lipschitzienne) tout en préservant le volume du domaine.
• Conservation du volume : L'article fournit des preuves théoriques et une vérification numérique que le schéma explicite stabilisé proposé conserve le volume du domaine, contrairement au schéma semi-implicite stabilisé par FSSA.

Résultats
Des expériences numériques ont été menées à l'aide de la bibliothèque open-source FEniCS pour les cas de fluides newtoniens et non newtoniens, incluant une géométrie complexe basée sur des données de la calotte glaciaire du Groenland.

• Stabilité : Le schéma d'Euler explicite non stabilisé était instable pour tous les pas de temps testés. Les schémas stabilisés par FSSA (tant semi-implicites qu'explicites) étaient conditionnellement stables, échouant lors de pas de temps plus importants. En revanche, le schéma EE-Stabilized est resté stable pour des pas de temps arbitrairement grands dans les cas newtoniens et non newtoniens.
• Conservation du volume : Le schéma EE-Stabilized a conservé le volume du domaine jusqu'à la précision de la machine. Le schéma SIE-FSSA n'a pas réussi à conserver le volume, confirmant les résultats théoriques.
• Précision : Les tests de convergence ont montré que les termes de stabilisation proposés sont cohérents avec le problème discrétisé. Le schéma EE-Stabilized a maintenu une précision de premier ordre pour la hauteur de surface et la vitesse sous un raffinement simultané du maillage et du pas de temps, avec des erreurs comparables ou inférieures à celles des autres schémas stabilisés.
• Oscillations : Le terme de stabilisation de bord implicite a efficacement supprimé les oscillations de haute fréquence dans la hauteur de la surface libre sans introduire de restrictions supplémentaires sur le pas de temps.

Signification et affirmations
L'article affirme que le schéma d'Euler explicite stabilisé proposé offre une alternative robuste et efficace aux solveurs implicites coûteuses en calcul. En garantissant théoriquement une stabilité inconditionnelle par rapport à la taille du pas de temps et en assurant la conservation du volume, la méthode permet des simulations stables des écoulements à surface libre, même avec des géométries complexes et des termes sources. Les auteurs soulignent que leur stabilisation est la première à garantir théoriquement des tailles de pas de temps arbitraires pour la discrétisation d'Euler explicite de ce problème couplé. L'approche est notée comme étant symétrique (bénéfique pour les solveurs itératifs), simple à implémenter et exempte de paramètres réglables. Les auteurs concluent que, bien que leur analyse suppose la continuité de Lipschitz, les estimations de stabilité en norme $L^2$ dérivées constituent une base nécessaire pour la bijectivité une fois une régularisation appropriée appliquée. Des travaux futurs sont suggérés pour explorer les termes de régularisation pour la bijectivité et pour étendre cette analyse de stabilité aux problèmes de Navier-Stokes/surface libre et aux intégrateurs temporels d'ordre supérieur.