Free-surface Stokes problem: stability estimates and time-step improvements

Resumen Técnico: Problema de Stokes de superficie libre: estimaciones de estabilidad y mejoras del paso de tiempo

Planteamiento del problema
La simulación precisa de flujos de superficie libre altamente viscosos, como la dinámica de las capas de hielo, la convección del manto y el flujo de lava, requiere resolver las ecuaciones acopladas de Stokes/superficie libre. Estos problemas se caracterizan por un dominio móvil donde la velocidad del fluido y la presión están acopladas con la evolución de la altura de la superficie libre. Si bien las discretizaciones estándar utilizando elementos finitos en el espacio y métodos de Euler en el tiempo son comunes, a menudo sufren de restricciones de estabilidad severas. Específicamente, los esquemas de Euler explícitos y semi-implícitos frecuentemente requieren pasos de tiempo prohibitivamente pequeños para permanecer estables, lo que conduce a altos costos computacionales. Las técnicas de estabilización existentes, como el Algoritmo de Estabilización de Superficie Libre (FSSA), mejoran los tamaños de los pasos de tiempo pero carecen de límites teóricos a priori sobre la estabilidad y no garantizan la estabilidad incondicional ni la conservación del volumen.

Metodología
Los autores presentan un análisis teórico riguroso de las propiedades de estabilidad y conservación del sistema acoplado Stokes/superficie libre tanto para fluidos newtonianos como no newtonianos (viscosidad de ley de potencia). El análisis se lleva a cabo en dos niveles:

1. Nivel Continuo: Los autores derivan un balance de energía total que acopla la energía de las ecuaciones de cantidad de movimiento de Stokes con la energía de la ecuación de la altura de la superficie libre. Esta derivación se basa en establecer relaciones específicas entre el término de advección de la superficie libre y las integrales de superficie, vinculándolos posteriormente con el término de gravedad en las ecuaciones de Stokes.
2. Nivel Discreto: El estudio examina esquemas totalmente discretos utilizando elementos finitos en el espacio combinados con pasos de tiempo de Euler explícito, semi-implícito e implícito.
   • Regularización: Para abordar la falta de regularidad inherente en la función de altura de la superficie libre (necesaria para la buena formulación del problema de Stokes), los autores introducen un término de estabilización de borde de alto orden, $J(s^{n+1}, w)$, tratado de forma implícita en el tiempo.
   • Propuesta de Estabilización: Motivados por la identificación de términos "espurios" en las estimaciones de energía del método de Euler explícito, los autores proponen un nuevo término de estabilización añadido a la forma débil de Stokes. Este término penaliza la velocidad normal en la superficie libre y está diseñado para cancelar precisamente los términos desestabilizadores que surgen del tratamiento explícito de la ecuación de la superficie libre.

Contribuciones Clave

• Balance de Energía Total: El artículo deriva un nuevo balance de energía total para el sistema acoplado Stokes/superficie libre, acoplando la energía del momento con la energía de la altura de la superficie. Esto se identifica como un bloque de construcción fundamental para comprender la estabilidad, que anteriormente faltaba en la literatura.
• Pruebas de Estabilidad Teórica:
  • Euler Implícito: Se demuestra que es incondicionalmente estable con respecto al tamaño del paso de tiempo (asumiendo la continuidad de Lipschitz de la altura de la superficie) y que conserva el volumen del dominio.
  • Euler Explícito (Sin Estabilizar): Se demuestra que es inestable en la norma de energía total para cualquier tamaño de paso de tiempo debido a términos espurios relacionados con la velocidad normal de la superficie.
  • Euler Semi-implícito (FSSA): Se muestra que es solo condicionalmente estable y, críticamente, se demuestra que no conserva el volumen del dominio.
  • Euler Explícito Estabilizado Propuesto: Los autores demuestran que su nuevo término de estabilización hace que el método de Euler explícito sea incondicionalmente estable con respecto al tamaño del paso de tiempo (bajo la suposición de continuidad de Lipschitz) mientras preserva el volumen del dominio.
• Conservación del Volumen: El artículo proporciona pruebas teóricas y verificación numérica de que el esquema explícito estabilizado propuesto conserva el volumen del dominio, mientras que el esquema de superficie libre estabilizado por FSSA (semi-implícito) no lo hace.

Resultados
Se realizaron experimentos numéricos utilizando la biblioteca de código abierto FEniCS tanto para casos de fluidos newtonianos como no newtonianos, incluyendo una geometría compleja basada en datos de la capa de hielo de Groenlandia.

• Estabilidad: El esquema de Euler explícito sin estabilizar fue inestable para todos los pasos de tiempo probados. Los esquemas estabilizados por FSSA (tanto semi-implícitos como explícitos) fueron condicionalmente estables, fallando en pasos de tiempo mayores. En contraste, el esquema EE-Stabilized propuesto se mantuvo estable para pasos de tiempo arbitrariamente grandes en casos tanto newtonianos como no newtonianos.
• Conservación del Volumen: El esquema EE-Stabilized conservó el volumen del dominio hasta la precisión de la máquina. El esquema SIE-FSSA falló en conservar el volumen, confirmando los hallazgos teóricos.
• Exactitud: Las pruebas de convergencia mostraron que los términos de estabilización propuestos son consistentes con el problema discretizado. El esquema EE-Stabilized mantuvo una exactitud de primer orden en la altura de la superficie y la velocidad bajo el refinamiento simultáneo de la malla y del paso de tiempo, con errores comparables o menores que otros esquemas estabilizados.
• Oscilaciones: El término de estabilización de borde implícito suprimió eficazmente las oscilaciones de alta frecuencia en la altura de la superficie libre sin introducir restricciones adicionales en el paso de tiempo.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el esquema de Euler explícito estabilizado propuesto ofrece una alternativa robusta y eficiente a los resolvedores computacionalmente costosos. Al garantizar teóricamente la estabilidad incondicional con respecto al tamaño del paso de tiempo y asegurar la conservación del volumen, el método permite simulaciones estables de flujos de superficie libre incluso con geometrías y términos fuente complejas. Los autores enfatizan que su estabilización es la primera en garantizar teóricamente tamaños de paso de tiempo arbitrarios para la discretización de Euler explícito de este problema acoplado. El enfoque se destaca por ser simétrico (beneficioso para resolvedores iterativos), simple de implementar y libre de parámetros ajustables. Los autores concluyen que, si bien su análisis asume la continuidad de Lipschitz, las estimaciones de estabilidad de norma $L^2$ derivadas son una base necesaria para la buena formulación una vez aplicada la regularización apropiada. Se sugiere como trabajo futuro explorar términos de regularización para la buena formulación y extender este análisis de estabilidad a problemas de Navier-Stokes/superficie libre e integradores de tiempo de orden superior.