Absence of Majorana-Weyl fermions in d=4 and the theory of Majorana fermions

技术摘要：d=4 中 Majorana-Weyl 费米子的缺失与 Majorana 费米子理论

问题陈述
本文探讨了在四维时空（$d=4$）中，特别是在如 Type I seesaw 模型这类手征理论背景下，场论中 Majorana 费米子定义的根本不一致性。一种常见的构造将 Majorana 费米子识别为 $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$，其中 $\nu_R$ 是右手手征场，$C$ 是电荷共轭算符。作者指出，这种识别依赖于一种“改变手征”的电荷共轭（$\tilde{C}$），而这与 $d=4$ 中 Lorentz 对称性的标准表示理论是不相容的。具体而言，关于 $d=4$ 中不存在 Majorana-Weyl 费米子的定理意味着，电荷共轭算符无法在满足 Majorana 条件的同时保持手征性，且针对单个手征场实现这一点。因此，这种形式化的构造 $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ 在受到场论中标准代换规则的作用时，会导致不确定的物理预测，例如作用量消失或变换性质自相矛盾。

方法论
分析过程通过以下步骤进行：

1. 表示分析： 作者利用 $\gamma_5$ 对角化表示，明确定义了手征费米子的电荷共轭（$C$）和宇称（$P$）变换。文中对比了两种不同的电荷共轭定义：
   • 保持手征性的 ($\hat{C}$)： 将 $\nu_R \to C\nu_L^T$ 且 $\nu_L \to C\nu_R^T$。这与手征费米子的双重态表示（Dirac 型场）以及标准场论是一致的。
   • 改变手征性的 ($\tilde{C}$)： 将 $\nu_R \to C\nu_R^T$ 且 $\nu_L \to C\nu_L^T$。这是文献中经常用来证明 $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ 为 Majorana 费米子的操作。
2. 应用 No-Go 定理： 作者证明了改变手征性的算符 $\tilde{C}$ 满足 $\tilde{C}\gamma_5\tilde{C}^{-1} = -\gamma_5$。在 $d=4$ 中，这一性质阻止了单个场同时具备 Majorana 条件和确定手征性的可能性。
3. Seesaw 模型的对角化： 使用幺正变换（$U$）对 Type I seesaw 拉格朗日量进行对角化，以获得质量本征态 $\psi_+$ 和 $\psi_-$。作者表明，在保持手征性的 $\hat{C}$ 下，这些态并不满足 Majorana 条件 $\psi = C\psi^T$。在改变手征性的 $\tilde{C}$ 下，由于 No-go 定理的存在，作用量及场本身都会消失，从而导致物理阐释变得不确定。
4. 正则变换（Bogoliubov 类比）： 为了解决这一不一致性，作者应用了一种广义的 Pauli-Gursey 正则变换（类比于 BCS 理论中的 Bogoliubov 变换）。该变换混合了手征场及其电荷共轭，从而从一个 Dirac 型场 $N$ 构建出新的场 $\psi_{M1}$ 和 $\psi_{M2}$。

主要贡献与结果

• 对标准构造的驳斥： 本文证明了形式对象 $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ 在 $d=4$ 场论中并非有效的 Majorana 费米子。试图使用改变手征性对称性将其视为 Majorana 费米子的尝试，会导致作用量消失以及代换规则失效（例如，关系式 $[(1+\gamma_5)/2]\psi_+ = \nu_R$ 在假设的对称性下变得不一致）。
• 通过 Dirac 型场进行解决： 作者证明，在 $d=4$ 中，只有通过首先定义一个 Dirac 型场 $\psi$（包含两种手征性），然后应用原始的 Majorana 定义 $\psi_M = (\psi \pm C\psi^T)/\sqrt{2}$，才能构建出一致的 Majorana 费米子。
• Seesaw 模型的重新表述： 通过对对角化的 seesaw 拉格朗日量应用特定的 $6 \times 6$ 正交正则变换，作者推导出了两个一致的 Majorana 费米子 $\psi_{M1}$ 和 $\psi_{M2}$。这些场在保持手征性的电荷共轭 $\hat{C}$ 下满足标准的 Majorana 条件（$\psi_M = \pm C\psi_M^T$）。
• 手征投影性质： 一个关键结果是，一致的 Majorana 费米子的手征投影，例如 $[(1+\gamma_5)/2]\psi_{M1}$，并不像单个 Weyl 旋量那样是一个手征费米子。相反，它是若干分量的叠加，确保了无中微子双 $\beta$ 衰变振幅的不为零。
• 无中微子双 $\beta$ 衰变： 本文澄清了，如果错误地使用改变手征性的对称性将 seesaw 解 $\psi_-$ 识别为 Majorana 费米子，则无中微子双 $\beta$ 衰变的振幅将为零。然而，使用从 Dirac 型场导出的连贯公式，该振幅是非零的，这符合该过程发生的实际情况。

意义
本文声称，将 $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ 识别为 Majorana 费米子是一个形式上的人工产物，由于 $d=4$ 中 Majorana-Weyl 费米子的缺失，该构造在严格的场论中是失效的。其意义在于确立了在手征理论中构建一致的 Majorana 费米子需要一个两步过程：首先形成一个 Dirac 型场，然后应用 Majorana 投影。这一表述解决了关于代换规则和宇称变换的逻辑不一致性，并为分析弱相互作用过程（如无中微子双 $\beta$ 衰变）提供了稳健的理论基础，而不必依赖于定义模糊的改变手征性对称性。这项工作表明，以往依赖于直接将手征组合识别为 Majorana 费米子的分析可能忽略了这些基本的约束。