Absence of Majorana-Weyl fermions in d=4 and the theory of Majorana fermions

技術要約：d=4におけるマヨラナ・ワイル・フェルミオンの不在とマヨラナ・フェルミオンの理論

問題提起
本論文は、4次元時空（$d=4$）におけるカイラル理論、特にタイプI・シーソーモデルの文脈において、マヨラナ・フェルミオンの場理論的な定義に存在する根本的な不整合を扱っている。一般的な構成では、マヨラナ・フェルミオンを $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ （ここで $\nu_R$ は右巻きカイラル場、$C$ は電荷共役演算子）と定義している。著者は、この識別が「カイラリティを変化させる」電荷共役（$\tilde{C}$）に依存しており、これが$d=4$におけるローレンツ対称性の標準的な表現論と矛盾していると主張している。具体的には、マヨラナ・ワイル・フェルミオンの不在に関する定理は、$d=4$において、電荷共役演算子が単一のカイラル場に対してカイラリティを保持しつつマヨラナ条件を満たすことは不可能であることを示唆している。その結果、$\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ という形式的な構成は、場理論の標準的な代入規則に従った際、作用（action）の消失や変換特性の矛盾といった、決定不能な物理的予測を導くことになる。

手法
分析は以下のステップを通じて進められる：

1. 表現分析： 著者は $\gamma_5$ 対角表現を用いて、カイラル・フェルミオンに対する電荷共役（$C$）およびパリティ（$P$）変換を明示的に定義する。ここでは、2つの異なる電荷共役の定義が対比される：
   • カイラリティ保存型 ($\hat{C}$): $\nu_R \to C\nu_L^T$ および $\\nu_L \to C\nu_R^T$ と写像する。これはカイラル・フェルミオン（ディラック型の場）の二重項表現および標準的な場理論と一致する。
   • カイラリティ変化型 ($\tilde{C}$): $\nu_R \to C\nu_R^T$ および $\nu_L \to C\nu_L^T$ と写像する。これは、$\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ をマヨラナ・フェルミオンとして正当化するために文献でしばしば用いられる操作である。
2. No-Go定理の適用： 著者は、カイラリティ変化型演算子 $\tilde{C}$ が $\tilde{C}\gamma_5\tilde{C}^{-1} = -\gamma_5$ を満たすことを示す。$d=4$ におけるこの性質は、単一の場に対してマヨラナ条件と確定したカイラリティを同時に存在させることを妨げる。
3. シーソー・モデルの対角化： タイプI・シーソー・ラグランジアンをユニタリ変換（$U$）を用いて対角化し、質量固有状態 $\psi_+$ および $\psi_-$ を得る。著者は、カイラリティ保存型 $\hat{C}$ の下では、これらの状態がマヨラナ条件 $\psi = C\psi^T$ を満たさないことを示す。カイラリティ変化型 $\tilde{C}$ の下では、No-Go定理により、作用および場自体が消失し、物理的解釈が決定不能となる。
4. 正準変換（ボゴリューボフ変換の類似）： この不整合を解決するため、著者は一般化されたパウリ・グルセイ正準変換（BCS理論におけるボゴリューボフ変換に類似したもの）を適用する。この変換は、ディラック型の場 $N$ から、カイラル場とその電荷共役を混合して新しい場 $\psi_{M1}$ および $\psi_{M2}$ を構築するものである。

主な貢献と結果

• 標準的な構成の反駁： 本論文は、$\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ という形式的な対象は、$d=4$ の場理論における有効なマヨラナ・フェルミオンではないことを証明している。これをカイラリティ変化対称性を用いて扱おうとする試みは、作用の消失や代入規則（例：$[(1+\gamma_5)/2]\psi_+ = \nu_R$ が仮定された対称性の下で矛盾すること）の失敗を招く。
• ディラック型場による解決： 矛盾するマヨラナ・フェルミオンは、$d=4$ においてまずディラック型の場 $\psi$（両方のカイラリティを含む）を定義し、その後に本来のマヨラナ定義 $\psi_M = (\psi \pm C\psi^T)/\sqrt{2}$ を適用することによってのみ、一貫して構成できることを著者は示している。
• シーソー・モデルの再定式化： 対角化されたシーソー・ラグランジアンに特定の $6 \times 6$ 直交正準変換を適用することで、著者は2つの整合的なマヨラナ・フェルミオン $\psi_{M1}$ および $\psi_{M2}$ を導出している。これらの場は、カイラリティ保存型電荷共役 $\hat{C}$ の下で、標準的なマヨラナ条件（$\psi_M = \pm C\psi_M^T$）を満たす。
• カイラル射影の特性： 整合的なマヨラナ・フェルミオンのカイラル射影、例えば $[(1+\gamma_5)/2]\psi_{M1}$ は、単一のワイル・スピノルという意味でのカイラル・フェルミオンではない。それは、ニュートリノ無放出二重ベータ崩壊の振幅が消失しないことを保証する成分の重ね合わせとなっている。
• ニュートリノ無放出二重ベータ崩壊： 本論文は、もしシーソー解である $\psi_-$ をカイラリティ変化対称性を用いてマヨラナ・フェルミオンと誤って識別した場合、ニュートリノ無放出二重ベータ崩壊の振幅が消失することを明らかにしている。しかし、ディラック型場から導かれた一貫した定式化を用いると、プロセスが発生するために必要な通り、振幅は非ゼロとなる。

意義
本論文は、$\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ をマヨラナ・フェルミオンと識別することは、4次元におけるマヨラナ・ワイル・フェルミオンの不在により、厳密な場理論においては失敗する形式的なアーティファクトであると主張している。その意義は、一貫したマヨラナ・フェルミオンの場理論的記述には、まずディラック型の場を形成し、次にマヨラナ射影を適用するという二段階のプロセスが必要であることを確立した点にある。この定式化は、代入規則やパリティ変換に関する論理的不整合を解決し、カイラリティ変化対称性に依存することなく、ニュートリノ無放出二重ベータ崩壊のような弱相互作用過程を分析するための強固な理論的基礎を提供する。本研究は、カイラルな組み合わせを直接マヨラナ・フェルミオンとして識別することに依拠した従来の解析が、これらの根本的な制約を見落としていた可能性を示唆している。