Absence of Majorana-Weyl fermions in d=4 and the theory of Majorana fermions

Resumen Técnico: Ausencia de Fermiones de Majorana-Weyl en d=4 y la Teoría de los Fermiones de Majorana

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una inconsistencia fundamental en la definición teórica de campo de los fermiones de Majorana en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones ($d=4$), específicamente en el contexto de las teorías quirales como el modelo seesaw de Tipo I. Una construcción común identifica un fermión de Majorana como $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$, donde $\nu_R$ es un campo quiral de mano derecha y $C$ es el operador de conjugación de carga. El autor argumenta que esta identificación depende de una conjugación de carga "cambiante de quiralidad" ($\tilde{C}$) que es incompatible con la representación estándar de la simetría de Lorentz en $d=4$. Específicamente, el teorema sobre la ausencia de fermiones de Majorana-Weyl en $d=4$ implica que un operador de conjugación de carga no puede preservar simultáneamente la quiralidad y satisfacer la condición de Majorana para un único campo quiral. En consecuencia, la construcción formal $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ conduce a predicciones físicas indeterminadas, tales como acciones que se anulan o propiedades de transformación contradictorias, cuando se somete a las reglas de sustitución estándar en la teoría de campos.

Metodología
El análisis procede a través de los siguientes pasos:

1. Análisis de Representación: El autor utiliza la representación diagonal de $\gamma_5$ para definir explícitamente las transformaciones de conjugación de carga ($C$) y paridad ($P$) para fermiones quirales. Se contrastan dos definiciones distintas de conjugación de carga:
   • Preservadora de la Quiralidad ($\hat{C}$): Mapea $\nu_R \to C\nu_L^T$ y $\nu_L \to C\nu_R^T$. Esto es consistente con la representación de doblete de los fermiones quirales (campos de tipo Dirac) y la teoría de campos estándar.
   • Cambiante de Quiralidad ($\tilde{C}$): Mapea $\nu_R \to C\nu_R^T$ y $\nu_L \to C\nu_L^T$. Esta es la operación utilizada frecuentemente en la literatura para justificar que $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ es un fermión de Majorana.
2. Aplicación del Teorema de No-Go: El artículo demuestra que el operador cambiante de quiralidad $\tilde{C}$ satisface $\tilde{C}\gamma_5\tilde{C}^{-1} = -\gamma_5$. En $d=4$, esta propiedad impide la existencia simultánea de una condición de Majorana y una quiralidad definida para un único campo.
3. Diagonalización del Modelo Seesaw: El Lagrangiano del seesaw de Tipo I se diagonaliza mediante una transformación unitaria ($U$) para obtener los autoestados de masa $\psi_+$ y $\psi_-$. El autor muestra que bajo la $\hat{C}$ preservadora de la quiralidad, estos estados no satisfacen la condición de Majorana $\psi = C\psi^T$. Bajo la $\tilde{C}$ cambiante de quiralidad, la acción y los propios campos se anulan debido al teorema de no-go, haciendo que la interpretación física sea indeterminada.
4. Transformación Canónica (Análogo de Bogoliubov): Para resolver la inconsistencia, el autor aplica una transformación canónica de Pauli-Gursey generalizada (análoga a la transformación de Bogoliubov en la teoría BCS). Esta transformación mezcla los campos quirales y sus conjugados de carga para construir nuevos campos $\psi_{M1}$ y $\psi_{M2}$ a partir de un campo de tipo Dirac $N$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Refutación de la Construcción Estándar: El artículo prueba que el objeto formal $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ no es un fermión de Majorana válido en la teoría de campos en $d=4$. Los intentos de tratarlo como tal utilizando la simetría cambiante de quiralidad conducen a la anulación de la acción y al fallo de las reglas de sustitución (por ejemplo, la relación $[(1+\gamma_5)/2]\psi_+ = \nu_R$ se vuelve inconsistente bajo las simetrías asumidas).
• Resolución mediante Campos de Tipo Dirac: El autor demuestra que los fermiones de Majorana consistentes solo pueden construirse en $d=4$ definiendo primero un campo de tipo Dirac $\psi$ (que contiene ambas quiralidades) y luego aplicando la definición original de Majorana: $\psi_M = (\psi \pm C\psi^T)/\sqrt{2}$.
• Reformulación del Modelo Seesaw: Al aplicar una transformación canónica ortogonal de $6 \times 6$ al Lagrangiano diagonalizado del seesaw, el autor deriva dos fermiones de Majorana consistentes, $\psi_{M1}$ y $\psi_{M2}$. Estos campos satisfacen las condiciones de Majorana estándar ($\psi_M = \pm C\psi_M^T$) bajo la conjugación de carga $\hat{C}$ preservadora de la quiralidad.
• Propiedades de Proyección Quiral: Un resultado crucial es que la proyección quiral de un fermión de Majorana consistente, por ejemplo $[(1+\gamma_5)/2]\psi_{M1}$, no es un fermión quiral en el sentido de un único espínor de Weyl. En cambio, es una superposición de componentes que asegura la no anulación de la amplitud de la desintegración doble beta sin neutrinos.
• Desintegración Doble Beta sin Neutrinos: El artículo aclara que si se identifica incorrectamente la solución del seesaw $\psi_-$ con un fermión de Majorana usando la simetría cambiante de quiralidad, la amplitud para la desintegración doble beta sin neutrinos se anula. Sin embargo, utilizando la formulación consistente derivada del campo de tipo Dirac, la amplitud es no nula, tal como se requiere para que el proceso ocurra.

Significancia
El artículo sostiene que la identificación de $\psi_+ = \nu_R + C\nu_R^T$ como un fermión de Majorana es un artefacto formal que falla en la teoría de campos rigurosa debido a la ausencia de fermiones de Majorana-Weyl en cuatro dimensiones. La significancia radica en establecer que una descripción consistente de los fermiones de Majorana en teorías quirales requiere un proceso de dos pasos: primero, formar un campo de tipo Dirac, y segundo, aplicar la proyección de Majorana. Esta formulación resuelve inconsistencias lógicas respecto a las reglas de sustitución y las transformaciones de paridad, y proporciona una base teórica robusta para analizar procesos de interacción débil, como la desintegración doble beta sin neutrinos, sin depender de simetrías cambiantes de quiralidad mal definidas. El trabajo sugiere que los análisis previos que dependían de la identificación directa de combinaciones quirales como fermiones de Majorana podrían haber pasado por alto estas restricciones fundamentales.