Reciprocal swimming in granular media: the role of jamming and swimmer inertia

技术摘要：颗粒介质中的往复游泳：阻塞（Jamming）与游泳者惯性的作用

问题陈述
在颗粒介质中进行运动面临着独特的挑战，因为该介质既可以表现出类流体流动，也可以表现出类固体阻塞（Jamming）特性。虽然许多生物和机器人游泳者利用复杂的非往复运动（例如，波动运动）在这些环境中航行，但理论预测，简单的往复运动——例如类似扇贝式的翅膀拍动——在低雷诺数牛顿流体中会产生零净位移（即“扇贝定理”）。然而，在颗粒介质中，由于介质的非牛顿流变特性和依赖于历史的响应，时间反演对称性通常会被打破。本文研究了扇贝状游泳者如何在颗粒介质中通过往复式的翅膀拍动实现净推进，并专门隔离了阻塞诱导的滞后性与游泳者惯性的作用。

研究方法
作者使用 MercuryDPM 软件包中的离散元法（DEM）模拟，对淹没在颗粒储层中的扇贝状游泳者进行建模。

• 游泳者几何结构： 游泳者由围绕中心轴旋转的两个正方形翅膀组成，其间隙宽度为 $S$。翅膀在闭合角度（$\theta_c = 20^\circ$）和开放角度（$\theta_o = 80^\circ$）之间以周期 $T$ 进行往复振荡。
• 介质属性： 颗粒介质由约 510,000 个粒子组成，密度为 $1050 \text{ kg/m}^3$，平均直径为 $1.0 \text{ mm}$。粒子间相互作用包括 Hertz 弹性接触、粘性耗散和库仑摩擦。
• 参数化研究： 研究系统地改变了游泳者质量 ($m_s$)、拍动周期 ($T$)、翅膀间隙宽度 ($S$) 和粒子摩擦系数 ($\mu$)。
• 验证： 模拟结果通过与先前的实验数据（Xiao 等人，2025）进行对比进行了验证，包括游泳者位移和粒子运动学（通过 X 射线 CT 成像进行验证）。
• 分析工具： 作者分析了粒子运动学（速度场、应变率）、结构指标（配位数 $Z$）以及力传递（接触力、强接触网络），以量化停滞区和阻力。

主要贡献与结果

1. 阻塞诱导的推进（准静态机制）
在准静态机制下（低游泳者惯性、慢速拍动），净推进是由停滞区（随游泳者一起运动的阻塞粒子区域）的历史相关形成驱动的。

• 非对称停滞区： 在开启冲程期间，翅膀尖端附近形成“推进性停滞区”（PSZ）。在闭合冲程期间，翅膀中心轴附近形成“阻力性停滞区”（RSZ）。
• 力滞后现象： 在完全开放和完全闭合状态下，强粒子接触数 ($N_c$) 存在显著差异。具体而言，闭合冲程在中心轴附近产生了更高密度的强力链（较高的 $N_c$），从而对向后运动产生了更大的阻力，而这与向前开启运动时遇到的阻力不同。
• 线性相关性： 每个周期的净位移 ($\Delta y$) 与闭合态与开放态之间的强接触数之差（$\Delta N_c = N_c(\theta_c) - N_c(\theta_o)$）呈线性关系。这证实了对称性破缺是由阻塞接触网络的滞后演化引起的。
• 摩擦依赖性： 在无摩擦模拟（$\mu=0$）中，停滞区不会形成，且净运动消失，这证实了粒子间摩擦对于该机制是必不可少的。

2. 惯性诱导的推进（动态机制）
在动态机制下（高游泳者质量、快速拍动），由游泳者惯性和不同滑行时间 ($T_c$) 的差异驱动的第二种机制开始显现。

• 滑行时间定义： $T_c$ 被定义为运动中的游泳者在介质阻力作用下停止运动的特征时间。它与游泳者质量与阻力之比成正比（$T_c \propto m_s / P_s L T$）。
• 减速不对称性： 当拍动周期 $T$ 接近滑行时间 $T_c$ 时，游泳者在翅膀反向时并不会立即停止。相反，它经历了一个“减速”过程。
• 方向反转： 由于投影面积较大，开启冲程期间产生的阻力比闭合冲程期间更大。因此，游泳者在闭合冲程之后比在开启冲程之后滑行的时间更长、距离更远。这种减速不对称性导致了向后方向的净位移（与阻塞驱动的前向运动方向相反）。
• 无摩擦确认： 这种惯性机制即使在无摩擦介质中也会持续存在，从而将其与阻塞机制区分开来。

3. 统一标度律
本文证明了这两种机制是共存且相互竞争的。

• 统一模型： 净位移可以用一个统一的标度律来描述：
  $$\Delta y/L = \alpha \Delta N_c - \beta (T_c/T)^n$$
  其中第一项代表阻塞贡献（倾向于前向运动），第二项代表惯性贡献（倾向于后向运动）。
• 机制转换： 在低 $T_c/T$ 时，阻塞机制占主导地位（前向运动）。随着 $T_c/T$ 的增加，惯性机制增强，最终克服阻塞效应并导致向后运动的转变。

意义
本文声称揭示了使往复游泳者能够运动的两种截然不同的破坏时间反演对称性的物理机制。

• 机制 1（阻塞）： 确立了摩擦性阻塞介质中接触网络具有历史相关性的重组过程会产生不对称阻力，从而实现前向推进。这通过强接触力的差异进行了量化。
• 机制 2（惯性）： 识别出当游泳者惯性与其介质阻力响应时间相当时，会产生第二种基于不对称滑行时间的对称性破缺机制，从而实现后向推进。
• 理论意义： 该工作扩展了对颗粒介质中“扇贝定理”的理解，表明虽然该定理适用于牛顿流体，但颗粒的复杂性（弹塑性与惯性）提供了多种实现净位移的路径。
• 设计启示： 结果表明，可以通过调整游泳者几何结构（例如，添加惯性较大的中段身体）和质量，来优化颗粒环境中的运动方向和效率。