Variational problems related to self-similar solutions of Hardy-Sobolev heat equation in RN

技术摘要：$\mathbb{R}^N$ 中 Hardy-Sobolev 热方程自相似解相关的变分问题

问题陈述
本文研究了 $\mathbb{R}^N$ 中具有奇异 Hardy-Sobolev 势的半线性抛物方程自相似解的存在性、多重性及非存在性：
$$u_t - \Delta u = \frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}, \quad \text{在 } \mathbb{R}^N \times (0, \infty) \text{ 中},$$
其中 $2 < q \leq 2^*(s) \equiv \frac{2N-2s}{N-2}$ 且 $0 \leq s < 2$。本研究侧重于通过自相似变换将该抛物问题转化为等价的椭圆问题。变换后的方程为：
$$-\Delta v - \frac{1}{2}y \cdot \nabla v = \alpha v + \frac{|v|^{q-2}v}{|y|^s}, \quad \text{在 } \mathbb{R}^N \text{ 中},$$
其中 $\alpha = \frac{2-s}{2q-4}$。主要目标是分析该椭圆方程的变分结构，具体探讨在奇异项 $|y|^{-s}$ 和高斯权函数 $K(y) = e^{|y|^2/4}$ 影响下的次临界情形（$q < 2^*(s)$）和临界情形（$q = 2^*(s)$）。

方法论
作者在特定的希尔伯特空间框架内，结合泛函分析、加权不等式和变分法进行研究。

1. 泛函设定：问题在希尔伯特空间 $X$ 中表述，该空间定义为 $C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ 关于由内积 $(v_1, v_2)_K = \int_{\mathbb{R}^N} (\nabla v_1 \cdot \nabla v_2) K(y) dy$ 诱导的范数完备化后的空间。弱解对应于能量泛函 $E_K(v)$ 的临界点。
2. 加权不等式：基础步骤涉及建立加权 Hardy 不等式和加权 Sobolev-Hardy 不等式。这些不等式对于证明相关嵌入 $X \hookrightarrow L^q_K(\mathbb{R}^N, |y|^{-s})$ 的连续性和紧性至关重要。
3. 变分技术：
   • 次临界情形：利用喷泉定理（Fountain Theorem）建立无穷多解的存在性。这需要验证定理的几何条件以及 Palais-Smale (PS) 条件。
   • 临界情形：解的存在性依赖于集中紧性原理以及对与加权 Sobolev-Hardy 不等式相关的最佳常数 $S_{K,\alpha}$ 的分析。作者将 $S_{K,\alpha}$ 与标准最佳常数 $S^0$（以及 $S_{K,0}$）进行比较，以确保下确界能够被达到。
   • 非存在性：应用Pohozaev 恒等式推导出不存在非平凡解的条件。
4. 替代证明：针对临界情形，提供了一个基于山路引理（Mountain Pass Theorem）的替代证明，该证明依赖于特定的能量水平阈值来验证 (PS) 条件。

主要贡献与结果

• 不等式：本文严格证明了 K-Hardy 不等式和 K-Sobolev-Hardy 不等式，确立了加权空间 $X$ 嵌入到加权 Lebesgue 空间所需的紧性性质。
• 次临界情形（$2 < q < 2^*(s)$）：
  • 定理 3.1：对于任意 $\alpha \in \mathbb{R}$，该问题 admit 无穷多个解 $\{\pm v_k\}_{k=1}^\infty$，使得当 $k \to \infty$ 时，能量 $E_K(\pm v_k) \to +\infty$。这意味着原热方程存在无穷多个自相似解。
• 临界情形（$q = 2^*(s)$）：
  • 非存在性：定理 4.1 表明，若 $\alpha \leq N/4$（对于 $N \geq 3$），该问题的唯一解是平凡解 $v \equiv 0$。这是通过 Pohozaev 恒等式证明的。
  • 存在性：
    • 对于 $N \geq 4$ 且 $\alpha \in (N/4, N/2)$，至少存在一个非平凡解（定理 4.2）。
    • 对于 $N = 3$ 且 $\alpha \in (1, 3/2)$，至少存在一个非平凡解。
    • 本文还刻画了正解不存在的一些范围（例如，对于 $N \geq 4$，当 $\alpha \leq N/4$ 或 $\alpha \geq N/2$ 时）。
  • 常数的最优性：作者证明，对于 $\alpha$ 的特定范围，商泛函 $Q_{K,\alpha}$ 的下确界严格小于标准最佳常数 $S^0$，从而保证了最小值的达到，进而保证了解的存在性。
• 替代方法：第 5 节利用山路几何结构为临界情形下的存在性结果提供了第二个证明，证实了在推导出的能量约束下存在性断言的稳健性。

意义与主张
本文声称将关于热方程自相似解的现有文献（特别是 Escobedo、Kavian 和 Tan 关于 $s=0$ 情形的研究）扩展到涉及奇异 Hardy-Sobolev 项（$s > 0$）的更复杂情形。

其意义在于：

1. 完善二分法：通过基于参数 $\alpha$ 和维数 $N$ 建立存在性和非存在性结果，该工作阐明了变换后椭圆方程的可解性图景。
2. 处理奇异性：在奇异项 $|y|^{-s}$ 和高斯权函数 $K(y)$ 存在的条件下推导加权不等式并应用变分法，为分析此类奇异演化问题提供了严谨的框架。
3. 多重性：次临界情形下无穷多解的证明突显了此类抛物方程解集的丰富结构。

作者保持谦逊的语气，严格专注于存在性、多重性和非存在性定理的数学推导，未超出引言中提到的对扩散和奇异演化现象的一般性描述而外推至具体的物理应用。结果被呈现为将经典理论严谨地推广到 Hardy-Sobolev 设定。