Variational problems related to self-similar solutions of Hardy-Sobolev heat equation in RN

Resumo Técnico: Problemas Variacionais Relacionados a Soluções Auto-Similares da Equação de Calor de Hardy-Sobolev em $\mathbb{R}^N$

Enunciado do Problema
Este artigo investiga a existência, multiplicidade e não existência de soluções auto-similares para a equação parabólica semilinear com um potencial singular de Hardy-Sobolev em $\mathbb{R}^N$:
$$u_t - \Delta u = \frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}, \quad \text{em } \mathbb{R}^N \times (0, \infty),$$
onde $2 < q \leq 2^*(s) \equiv \frac{2N-2s}{N-2}$ e $0 \leq s < 2$. O estudo foca na conversão deste problema parabólico em um problema elíptico equivalente via uma transformação auto-similar. A equação transformada é:
$$-\Delta v - \frac{1}{2}y \cdot \nabla v = \alpha v + \frac{|v|^{q-2}v}{|y|^s}, \quad \text{em } \mathbb{R}^N,$$
onde $\alpha = \frac{2-s}{2q-4}$. O objetivo principal é analisar a estrutura variacional desta equação elíptica, abordando especificamente os casos subcrítico ($q < 2^*(s)$) e crítico ($q = 2^*(s)$) sob a influência do termo singular $|y|^{-s}$ e do peso gaussiano $K(y) = e^{|y|^2/4}$.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de análise funcional, desigualdades ponderadas e métodos variacionais dentro de um quadro específico de espaço de Hilbert.

1. Contexto Funcional: O problema é formulado em um espaço de Hilbert $X$, definido como o completamento de $C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ em relação à norma induzida pelo produto interno $(v_1, v_2)_K = \int_{\mathbb{R}^N} (\nabla v_1 \cdot \nabla v_2) K(y) dy$. As soluções fracas correspondem a pontos críticos do funcional de energia $E_K(v)$.
2. Desigualdades Ponderadas: Um passo fundamental envolve estabelecer a desigualdade de Hardy ponderada e a desigualdade de Sobolev-Hardy ponderada. Essas desigualdades são cruciais para provar a continuidade e a compacidade dos mergulhos relevantes $X \hookrightarrow L^q_K(\mathbb{R}^N, |y|^{-s})$.
3. Técnicas Variacionais:
   • Caso Subcrítico: O Teorema da Fonte é utilizado para estabelecer a existência de infinitas soluções. Isso requer verificar as condições geométricas do teorema e a condição de Palais-Smale (PS).
   • Caso Crítico: A existência de soluções depende do princípio de concentração-compacidade e da análise da melhor constante $S_{K,\alpha}$ associada à desigualdade de Sobolev-Hardy ponderada. Os autores comparam $S_{K,\alpha}$ com a melhor constante padrão $S^0$ (e $S_{K,0}$) para garantir que o ínfimo seja alcançado.
   • Não Existência: A identidade de Pohozaev é aplicada para derivar condições sob as quais não existem soluções não triviais.
4. Prova Alternativa: Para o caso crítico, uma prova alternativa é fornecida usando o Teorema do Passo da Montanha, dependendo de um limiar específico de nível de energia para verificar a condição (PS).

Contribuições e Resultados Chave

• Desigualdades: O artigo prova rigorosamente a desigualdade K-Hardy e a desigualdade K-Sobolev-Hardy, estabelecendo as propriedades de compacidade necessárias para o mergulho do espaço ponderado $X$ em espaços de Lebesgue ponderados.
• Caso Subcrítico ($2 < q < 2^*(s)$):
  • Teorema 3.1: Para qualquer $\alpha \in \mathbb{R}$, o problema admite infinitas soluções $\{\pm v_k\}_{k=1}^\infty$ tais que a energia $E_K(\pm v_k) \to +\infty$ quando $k \to \infty$. Isso implica a existência de infinitas soluções auto-similares para a equação de calor original.
• Caso Crítico ($q = 2^*(s)$):
  • Não Existência: O Teorema 4.1 estabelece que, se $\alpha \leq N/4$ (para $N \geq 3$), a única solução do problema é a solução trivial $v \equiv 0$. Isso é provado via a identidade de Pohozaev.
  • Existência:
    • Para $N \geq 4$ e $\alpha \in (N/4, N/2)$, existe pelo menos uma solução não trivial (Teorema 4.2).
    • Para $N = 3$ e $\alpha \in (1, 3/2)$, existe pelo menos uma solução não trivial.
    • O artigo também caracteriza intervalos onde soluções positivas não existem (por exemplo, $\alpha \leq N/4$ ou $\alpha \geq N/2$ para $N \geq 4$).
  • Optimalidade das Constantes: Os autores demonstram que, para intervalos específicos de $\alpha$, o ínfimo do funcional quociente $Q_{K,\alpha}$ é estritamente menor que a melhor constante padrão $S^0$, garantindo a obtenção do mínimo e, portanto, a existência de uma solução.
• Abordagem Alternativa: A Seção 5 fornece uma segunda prova para os resultados de existência no caso crítico usando a geometria do Passo da Montanha, confirmando a robustez das alegações de existência sob as restrições de energia derivadas.

Significado e Alegações
O artigo alega estender a literatura existente sobre soluções auto-similares de equações de calor (especificamente o trabalho de Escobedo, Kavian e Tan referente ao caso $s=0$) para o cenário mais complexo envolvendo termos singulares de Hardy-Sobolev ($s > 0$).

O significado reside em:

1. Completar a Dicotomia: Ao estabelecer resultados de existência e não existência baseados no parâmetro $\alpha$ e na dimensão $N$, o trabalho esclarece o panorama de solvabilidade para a equação elíptica transformada.
2. Tratamento de Singularidades: A derivação de desigualdades ponderadas e a aplicação de métodos variacionais na presença do termo singular $|y|^{-s}$ e do peso gaussiano $K(y)$ fornecem um quadro rigoroso para analisar tais problemas de evolução singular.
3. Multiplicidade: A prova de infinitas soluções no caso subcrítico destaca a rica estrutura do conjunto de soluções para esses tipos de equações parabólicas.

Os autores mantêm um tom modesto, focando estritamente na derivação matemática dos teoremas de existência, multiplicidade e não existência, sem extrapolar para aplicações físicas específicas além da caracterização geral de fenômenos de difusão e evolução singular mencionados na introdução. Os resultados são apresentados como extensões rigorosas de teorias clássicas para o contexto de Hardy-Sobolev.