Variational problems related to self-similar solutions of Hardy-Sobolev heat equation in RN

Résumé technique : Problèmes variationnels liés aux solutions auto-similaires de l'équation de la chaleur de Hardy-Sobolev dans $\mathbb{R}^N$

Énoncé du problème
Cet article étudie l'existence, la multiplicité et la non-existence de solutions auto-similaires pour l'équation parabolique semi-linéaire avec un potentiel singulier de type Hardy-Sobolev dans $\mathbb{R}^N$ :
$$u_t - \Delta u = \frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}, \quad \text{dans } \mathbb{R}^N \times (0, \infty),$$
où $2 < q \leq 2^*(s) \equiv \frac{2N-2s}{N-2}$ et $0 \leq s < 2$. L'étude se concentre sur la conversion de ce problème parabolique en un problème elliptique équivalent via une transformation auto-similaire. L'équation transformée est :
$$-\Delta v - \frac{1}{2}y \cdot \nabla v = \alpha v + \frac{|v|^{q-2}v}{|y|^s}, \quad \text{dans } \mathbb{R}^N,$$
où $\alpha = \frac{2-s}{2q-4}$. L'objectif principal est d'analyser la structure variationnelle de cette équation elliptique, en traitant spécifiquement les cas sous-critique ($q < 2^*(s)$) et critique ($q = 2^*(s)$) sous l'influence du terme singulier $|y|^{-s}$ et du poids gaussien $K(y) = e^{|y|^2/4}$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'analyse fonctionnelle, d'inégalités pondérées et de méthodes variationnelles au sein d'un cadre spécifique d'espaces de Hilbert.

1. Cadre fonctionnel : Le problème est formulé dans un espace de Hilbert $X$, défini comme l'achèvement de $C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ par rapport à la norme induite par le produit scalaire $(v_1, v_2)_K = \int_{\mathbb{R}^N} (\nabla v_1 \cdot \nabla v_2) K(y) dy$. Les solutions faibles correspondent aux points critiques du fonctionnel d'énergie $E_K(v)$.
2. Inégalités pondérées : Une étape fondamentale consiste à établir l'inégalité de Hardy pondérée et l'inégalité de Sobolev-Hardy pondérée. Ces inégalités sont cruciales pour prouver la continuité et la compacité des plongements pertinents $X \hookrightarrow L^q_K(\mathbb{R}^N, |y|^{-s})$.
3. Techniques variationnelles :
   • Cas sous-critique : Le Théorème de la Fontaine est utilisé pour établir l'existence d'une infinité de solutions. Cela nécessite de vérifier les conditions géométriques du théorème et la condition de Palais-Smale (PS).
   • Cas critique : L'existence de solutions repose sur le principe de concentration-compacité et l'analyse de la meilleure constante $S_{K,\alpha}$ associée à l'inégalité de Sobolev-Hardy pondérée. Les auteurs comparent $S_{K,\alpha}$ avec la meilleure constante standard $S^0$ (et $S_{K,0}$) pour s'assurer que l'infimum est atteint.
   • Non-existence : L'identité de Pohozaev est appliquée pour dériver les conditions sous lesquelles aucune solution non triviale n'existe.
4. Preuve alternative : Pour le cas critique, une preuve alternative est fournie en utilisant le Théorème du Passage de Montagne, reposant sur un seuil spécifique de niveau d'énergie pour vérifier la condition (PS).

Contributions et résultats clés

• Inégalités : L'article prouve rigoureusement l'inégalité de K-Hardy et l'inégalité de K-Sobolev-Hardy, établissant les propriétés de compacité nécessaires pour le plongement de l'espace pondéré $X$ dans les espaces de Lebesgue pondérés.
• Cas sous-critique ($2 < q < 2^*(s)$) :
  • Théorème 3.1 : Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, le problème admet une infinité de solutions $\{\pm v_k\}_{k=1}^\infty$ telles que l'énergie $E_K(\pm v_k) \to +\infty$ lorsque $k \to \infty$. Cela implique l'existence d'une infinité de solutions auto-similaires pour l'équation de la chaleur originale.
• Cas critique ($q = 2^*(s)$) :
  • Non-existence : Le Théorème 4.1 établit que si $\alpha \leq N/4$ (pour $N \geq 3$), la seule solution au problème est la solution triviale $v \equiv 0$. Cela est prouvé via l'identité de Pohozaev.
  • Existence :
    • Pour $N \geq 4$ et $\alpha \in (N/4, N/2)$, il existe au moins une solution non triviale (Théorème 4.2).
    • Pour $N = 3$ et $\alpha \in (1, 3/2)$, il existe au moins une solution non triviale.
    • L'article caractérise également les plages où les solutions positives n'existent pas (par exemple, $\alpha \leq N/4$ ou $\alpha \geq N/2$ pour $N \geq 4$).
  • Optimalité des constantes : Les auteurs démontrent que pour des plages spécifiques de $\alpha$, l'infimum du fonctionnel quotient $Q_{K,\alpha}$ est strictement inférieur à la meilleure constante standard $S^0$, assurant ainsi l'atteinte du minimum et par conséquent l'existence d'une solution.
• Approche alternative : La section 5 fournit une seconde preuve pour les résultats d'existence dans le cas critique en utilisant la géométrie du Passage de Montagne, confirmant la robustesse des affirmations d'existence sous les contraintes d'énergie dérivées.

Signification et affirmations
L'article prétend étendre la littérature existante sur les solutions auto-similaires des équations de la chaleur (spécifiquement les travaux d'Escobedo, Kavian et Tan concernant le cas $s=0$) au scénario plus complexe impliquant des termes singuliers de type Hardy-Sobolev ($s > 0$).

La signification réside dans :

1. Compléter la dichotomie : En établissant à la fois des résultats d'existence et de non-existence basés sur le paramètre $\alpha$ et la dimension $N$, le travail clarifie le paysage de la résolubilité pour l'équation elliptique transformée.
2. Gestion des singularités : La dérivation d'inégalités pondérées et l'application de méthodes variationnelles en présence du terme singulier $|y|^{-s}$ et du poids gaussien $K(y)$ fournissent un cadre rigoureux pour l'analyse de tels problèmes d'évolution singuliers.
3. Multiplicité : La preuve d'une infinité de solutions dans le cas sous-critique met en évidence la structure riche de l'ensemble des solutions pour ce type d'équations paraboliques.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, se concentrant strictement sur la dérivation mathématique des théorèmes d'existence, de multiplicité et de non-existence, sans extrapoler vers des applications physiques spécifiques au-delà de la caractérisation générale des phénomènes de diffusion et d'évolution singulière mentionnée dans l'introduction. Les résultats sont présentés comme des extensions rigoureuses des théories classiques au cadre de Hardy-Sobolev.