On planar functions over $\mathbb{F}_{q^3}$

技术摘要：$\mathbb{F}_{q^3}$ 上的平面函数

问题陈述
本文研究了有限域 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上平面函数的存在性与刻画，其中 $q$ 为奇素数幂。若函数 $f: \mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ 满足：对于任意非零 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^n}$，差函数 $F_\epsilon(X) = f(X+\epsilon) - f(X) - f(\epsilon)$ 均为置换多项式，则称该函数为平面函数。作者特别关注如下形式的五单项式族：
$$f_{E,A,B,C,D}(X) := EX^2 + AX^{q+1} + BX^{q^2+1} + CX^{2q} + DX^{2q^2} \in \mathbb{F}_q[X]。$$
本文解决的主要挑战是确定系数 $A, B, C, D, E \in \mathbb{F}_q$ 的精确代数条件，以确保 $f_{E,A,B,C,D}$ 在 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上满足平面性。

方法论
作者利用 $q$-多项式（线性化多项式）理论来分析平面性条件。方法论通过以下逻辑步骤展开：

1. 归约为置换多项式：根据定义，$f$ 是平面函数当且仅当对于所有 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$，$F_\epsilon(X)$ 均为置换多项式。作者显式计算了目标五单项式族的 $F_\epsilon(X)$，表明其结果为一个形式为 $L(X) = c_0 X + c_1 X^q + c_2 X^{q^2}$ 的 $q$-多项式。
2. 迪克森矩阵判据：利用定理 1.1 和引理 1.2，作者确立了一个 $q$-多项式是置换多项式，当且仅当其关联的迪克森矩阵是非奇异的（即具有非零行列式）。
3. 行列式分析：将 $F_\epsilon(X)$ 的迪克森矩阵的行列式 $\Delta_{F_\epsilon}$ 计算为 $\epsilon$ 的多项式。命题 2.1 提供了一个一般但复杂的刻画：该五单项式是平面函数，当且仅当该行列式对所有 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$ 均非零。
4. 因式分解策略：认识到验证一般行列式的非零性在代数上十分困难，作者开发了一种因式分解方法（定理 2.5）。他们寻求关于系数的条件，使得 $\Delta_{F_\epsilon}$ 能分解为三个更简单的 $q$-多项式的乘积 $P_1(\epsilon)P_2(\epsilon)P_3(\epsilon)$。
5. 无根条件：作者利用引理 2.2，该引理指出 $q$-多项式 $aX^{q^2} + bX^q + cX$ 在 $\mathbb{F}_{q^3}^*$ 中无根，当且仅当 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \neq 0$。通过构建特定的方程组（定理 2.5 和推论 2.6），迫使行列式分解为此类无根多项式，从而推导出平面性的充分条件。
6. 特定矩阵族：为了验证特定情形下行列式的非零性，作者分析了两类 $3 \times 3$ 矩阵族（命题 2.3 和 2.4），证明了它们的行列式对所有非零 $\epsilon$ 均非零。

主要贡献与结果
本文提供了在 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上构造平面五单项式的系统框架，并提出了五个新的显式平面函数族：

1. 一般刻画（定理 2.5）：建立了一个方程组，当系数 $(E, A, B, C, D)$ 满足该方程组时，保证关联迪克森矩阵的行列式分解为三个在 $\mathbb{F}_{q^3}^*$ 中无根的 $q$-多项式。
2. 平面三项式（定理 3.1）：对形式为 $EX^2 + CX^{2q} + DX^{2q^2}$ 的三项式进行了刻画。该函数是平面函数，当且仅当 $C^3 + D^3 + E^3 - 3CDE = 1/2$。
3. 特定四项式（定理 3.2）：证明了多项式 $f(X) = -X^2 + 2X^{q^2+1} + X^{2q} - X^{2q^2}$ 在 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上是平面函数。
4. 双参数五单项式族（定理 3.3）：证明了五单项式族 $f(X) = EX^2 + 2(E-D)X^{q+1} + 2DX^{q^2+1} + (E-D)X^{2q} + DX^{2q^2}$ 是平面函数，前提是 $E(3D^2 - 3DE + E^2) \neq 0$。
5. 两个新的五单项式（定理 3.4）：确定了两个具体的五单项式为平面函数：
   • $X^2 - X^{q+1} - X^{q^2+1} + X^{2q} + X^{2q^2}$
   • $X^2 + X^{q+1} + X^{q^2+1} + \frac{1}{2}X^{2q} + \frac{1}{2}X^{2q^2}$

意义与主张
本文声称提供了 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上多项式平面性性质的新刻画，并提出了新的平面三项式、四项式和五单项式族。这项工作扩展了关于平面函数的现有文献，这些函数在密码学（特别是 S 盒设计）、编码理论和信号集方面有应用。作者指出，虽然平面映射的存在性已得到广泛研究，但构造它们或刻画其存在条件仍然是有限域理论中的一个重要问题。这项工作通过提供一种基于迪克森矩阵行列式因式分解的构造性方法解决了该问题，得出了此前未以这种特定形式被刻画的平面函数的具体实例。