On planar functions over $\mathbb{F}_{q^3}$

Resumo Técnico: Funções Planares sobre $\mathbb{F}_{q^3}$

Enunciado do Problema
Esta obra investiga a existência e a caracterização de funções planares sobre o corpo finito $\mathbb{F}_{q^3}$, onde $q$ é uma potência de primo ímpar. Uma função $f: \mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ é definida como planar se, para todo $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^n}$ não nulo, a função diferença $F_\epsilon(X) = f(X+\epsilon) - f(X) - f(\epsilon)$ for um polinômio de permutação. Os autores focam especificamente na família de pentanômios da forma:
$$f_{E,A,B,C,D}(X) := EX^2 + AX^{q+1} + BX^{q^2+1} + CX^{2q} + DX^{2q^2} \in \mathbb{F}_q[X].$$
O principal desafio abordado é determinar as condições algébricas precisas sobre os coeficientes $A, B, C, D, E \in \mathbb{F}_q$ que garantem que $f_{E,A,B,C,D}$ satisfaça a propriedade de planaridade sobre $\mathbb{F}_{q^3}$.

Metodologia
Os autores empregam a teoria dos polinômios $q$ (polinômios linearizados) para analisar a condição de planaridade. A metodologia procede através das seguintes etapas lógicas:

1. Redução a Polinômios de Permutação: Por definição, $f$ é planar se e somente se $F_\epsilon(X)$ for um polinômio de permutação para todo $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$. Os autores calculam explicitamente $F_\epsilon(X)$ para a família alvo de pentanômios, mostrando que resulta em um polinômio $q$ da forma $L(X) = c_0 X + c_1 X^q + c_2 X^{q^2}$.
2. Critério da Matriz de Dickson: Utilizando o Teorema 1.1 e o Lema 1.2, os autores estabelecem que um polinômio $q$ é um polinômio de permutação se e somente se sua matriz de Dickson associada for não singular (ou seja, tiver um determinante não nulo).
3. Análise do Determinante: O determinante $\Delta_{F_\epsilon}$ da matriz de Dickson para $F_\epsilon(X)$ é calculado como um polinômio em $\epsilon$. A Proposição 2.1 fornece uma caracterização geral, embora complexa: o pentanômio é planar se e somente se este determinante for não nulo para todo $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$.
4. Estratégia de Fatoração: Reconhecendo que verificar o não desaparecimento do determinante geral é algebricamente difícil, os autores desenvolvem uma abordagem de fatoração (Teorema 2.5). Eles buscam condições sobre os coeficientes tais que $\Delta_{F_\epsilon}$ se fatorize no produto de três polinômios $q$ mais simples, $P_1(\epsilon)P_2(\epsilon)P_3(\epsilon)$.
5. Condições Livres de Raízes: Os autores aproveitam o Lema 2.2, que afirma que um polinômio $q$ da forma $aX^{q^2} + bX^q + cX$ não possui raízes em $\mathbb{F}_{q^3}^*$ se e somente se $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \neq 0$. Ao construir sistemas específicos de equações (Teorema 2.5 e Corolário 2.6) que forçam o determinante a fatorar-se em tais polinômios livres de raízes, eles derivam condições suficientes para a planaridade.
6. Famílias Específicas de Matrizes: Para verificar o não desaparecimento dos determinantes para casos específicos, os autores analisam duas famílias de matrizes $3 \times 3$ (Proposições 2.3 e 2.4), provando que seus determinantes são não nulos para todo $\epsilon$ não nulo.

Principais Contribuições e Resultados
O artigo fornece uma estrutura sistemática para a construção de pentanômios planares sobre $\mathbb{F}_{q^3}$ e apresenta cinco novas famílias explícitas de funções planares:

1. Caracterização Geral (Teorema 2.5): Um sistema de equações é estabelecido que, quando satisfeito pelos coeficientes $(E, A, B, C, D)$, garante que o determinante da matriz de Dickson associada fatorize em três polinômios $q$ sem raízes em $\mathbb{F}_{q^3}^*$.
2. Trinômios Planares (Teorema 3.1): Uma caracterização para trinômios da forma $EX^2 + CX^{2q} + DX^{2q^2}$. A função é planar se e somente se $C^3 + D^3 + E^3 - 3CDE = 1/2$.
3. Quadrinômio Específico (Teorema 3.2): O polinômio $f(X) = -X^2 + 2X^{q^2+1} + X^{2q} - X^{2q^2}$ é provado ser planar sobre $\mathbb{F}_{q^3}$.
4. Família de Pentanômios com Dois Parâmetros (Teorema 3.3): Uma família de pentanômios $f(X) = EX^2 + 2(E-D)X^{q+1} + 2DX^{q^2+1} + (E-D)X^{2q} + DX^{2q^2}$ é mostrada como planar, desde que $E(3D^2 - 3DE + E^2) \neq 0$.
5. Dois Novos Pentanômios (Teorema 3.4): Dois pentanômios específicos são identificados como planares:
   • $X^2 - X^{q+1} - X^{q^2+1} + X^{2q} + X^{2q^2}$
   • $X^2 + X^{q+1} + X^{q^2+1} + \frac{1}{2}X^{2q} + \frac{1}{2}X^{2q^2}$

Significado e Alegações
O artigo alega fornecer novas caracterizações para a propriedade de planaridade de polinômios sobre $\mathbb{F}_{q^3}$ e apresentar novas famílias de trinômios, quadrinômios e pentanômios planares. O trabalho estende a literatura existente sobre funções planares, que possui aplicações em criptografia (especificamente no design de caixas-S), teoria de códigos e conjuntos de sinais. Os autores observam que, embora a existência de aplicações planares tenha sido extensivamente estudada, construí-las ou caracterizar as condições para sua existência permanece um problema significativo na teoria dos corpos finitos. Esta obra aborda esse problema oferecendo um método construtivo baseado na fatoração dos determinantes das matrizes de Dickson, produzindo exemplos concretos de funções planares que anteriormente não estavam caracterizadas nesta forma específica.