On planar functions over $\mathbb{F}_{q^3}$

技術的概要：$\mathbb{F}_{q^3}$ 上の平面関数

問題提起
本論文は、$q$ が奇素数べきである有限体 $\mathbb{F}_{q^3}$ 上の平面関数の存在と特徴付けを調査する。関数 $f: \mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ は、すべての非零元 $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^n}$ に対して、差分関数 $F_\epsilon(X) = f(X+\epsilon) - f(X) - f(\epsilon)$ が置換多項式となるとき、平面関数と定義される。著者らは、特に以下の形式のペンタノミアルの族に焦点を当てる：
$$f_{E,A,B,C,D}(X) := EX^2 + AX^{q+1} + BX^{q^2+1} + CX^{2q} + DX^{2q^2} \in \mathbb{F}_q[X].$$
対処される主要な課題は、係数 $A, B, C, D, E \in \mathbb{F}_q$ に関する正確な代数的条件を決定することであり、これにより $f_{E,A,B,C,D}$ が $\mathbb{F}_{q^3}$ 上で平面性という性質を満たすことが保証される。

手法
著者らは、平面性の条件を解析するために $q$-多項式（線形化多項式）の理論を採用する。手法は以下の論理的段階を経て進行する：

1. 置換多項式への還元： 定義により、$f$ が平面関数であるための必要十分条件は、すべての $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$ に対して $F_\epsilon(X)$ が置換多項式となることである。著者らは対象とするペンタノミアルの族に対して $F_\epsilon(X)$ を明示的に計算し、それが $L(X) = c_0 X + c_1 X^q + c_2 X^{q^2}$ の形式の $q$-多項式として導かれることを示す。
2. ディクソン行列の基準： 定理 1.1 と補題 1.2 を利用して、著者らは $q$-多項式が置換多項式であるための必要十分条件が、その対応するディクソン行列が非特異（すなわち、行列式が零でない）であることであることを確立する。
3. 行列式の解析： $F_\epsilon(X)$ に対するディクソン行列の行列式 $\Delta_{F_\epsilon}$ を $\epsilon$ の多項式として計算する。命題 2.1 は、一般的かつ複雑ではあるが、以下の特徴付けを与える：この行列式がすべての $\epsilon \in \mathbb{F}_{q^3}^*$ に対して非零であるとき、かつそのときに限り、そのペンタノミアルは平面である。
4. 因数分解戦略： 一般的な行列式の非消滅を検証することが代数的に困難であることを認識し、著者らは因数分解アプローチ（定理 2.5）を開発する。彼らは、$\Delta_{F_\epsilon}$ が 3 つのより単純な $q$-多項式 $P_1(\epsilon)P_2(\epsilon)P_3(\epsilon)$ の積に因数分解されるような係数に関する条件を求めようとする。
5. 根を持たない条件： 著者らは補題 2.2 を利用する。これは、$q$-多項式 $aX^{q^2} + bX^q + cX$ が $\mathbb{F}_{q^3}^*$ に根を持たないための必要十分条件が $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \neq 0$ であることを述べている。行列式をそのような根を持たない多項式に因数分解させるための特定の方程式系（定理 2.5 と系 2.6）を構築することにより、彼らは平面性に対する十分条件を導き出す。
6. 特定の行列族： 特定のケースにおける行列式の非消滅を検証するために、著者らは 2 つの $3 \times 3$ 行列の族（命題 2.3 と 2.4）を解析し、それらの行列式がすべての非零 $\epsilon$ に対して非零であることを証明する。

主要な貢献と結果
本論文は、$\mathbb{F}_{q^3}$ 上の平面ペンタノミアルを構成するための体系的な枠組みを提供し、5 つの新しい明示的な平面関数の族を提示する：

1. 一般の特徴付け（定理 2.5）： 係数 $(E, A, B, C, D)$ によって満たされる方程式系が確立され、これが満たされるとき、対応するディクソン行列の行列式が $\mathbb{F}_{q^3}^*$ に根を持たない 3 つの $q$-多項式に因数分解されることが保証される。
2. 平面トリノミアル（定理 3.1）： $EX^2 + CX^{2q} + DX^{2q^2}$ の形式のトリノミアルに対する特徴付け。この関数が平面であるための必要十分条件は $C^3 + D^3 + E^3 - 3CDE = 1/2$ である。
3. 特定のクアドリノミアル（定理 3.2）： 多項式 $f(X) = -X^2 + 2X^{q^2+1} + X^{2q} - X^{2q^2}$ が $\mathbb{F}_{q^3}$ 上で平面であることが証明される。
4. 2 パラメータペンタノミアル族（定理 3.3）： $f(X) = EX^2 + 2(E-D)X^{q+1} + 2DX^{q^2+1} + (E-D)X^{2q} + DX^{2q^2}$ という形式のペンタノミアルの族が、$E(3D^2 - 3DE + E^2) \neq 0$ である限り平面であることが示される。
5. 2 つの新しいペンタノミアル（定理 3.4）： 2 つの特定のペンタノミアルが平面であると特定される：
   • $X^2 - X^{q+1} - X^{q^2+1} + X^{2q} + X^{2q^2}$
   • $X^2 + X^{q+1} + X^{q^2+1} + \frac{1}{2}X^{2q} + \frac{1}{2}X^{2q^2}$

意義と主張
本論文は、$\mathbb{F}_{q^3}$ 上の多項式の平面性に関する新たな特徴付けを提供し、新しい平面トリノミアル、クアドリノミアル、およびペンタノミアルの族を提示すると主張する。この研究は、暗号学（特に S-ボックス設計）、符号理論、および信号集合への応用を持つ平面関数に関する既存の文献を拡張する。著者らは、平面写像の存在は広範に研究されてきたが、それらを構築すること、あるいはその存在の条件を特徴付けることは、有限体論における重要な問題のまま残っていると指摘する。本論文は、ディクソン行列の行列式の因数分解に基づく構成法を提供することでこの問題に対処し、以前はこの特定の形式では特徴付けられていなかった平面関数の具体的な例を導き出している。