Inverse Problems for the Monge--Ampère Equation: Linearization and Nonlinear Recovery

技术摘要：Monge–Ampère 方程的反问题：线性化与非线性恢复

问题陈述
本研究探讨了全非线性 Monge–Ampère 方程的逆边界值问题：
$$\det D^2 u = a(x, u, \nabla u) \quad \text{在 } \Omega \text{ 内},$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个有界区域，且 $a$ 是未知的非线性项。受经典 Calderón 问题（电阻层析成像）的启发，作者探究了是否可以通过边界测量来恢复给定严格凸背景解 $\Phi$ 处非线性项 $a$ 的“射流”（jet）。具体而言，目标是确定 $a$ 对其参数 $(x, z, p)$ 在轨迹 $(x, \Phi(x), \nabla \Phi(x))$ 处的导数，使用的是非线性 Cauchy 数据集。

不同于半线性或拟线性方程，全非线性方程通常缺乏规范的 Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射，也无法自然地与线性反问题建立联系。Monge–Ampère 方程因其全非线性性质提出了独特的挑战，但它通过 Hessian 矩阵的余因子矩阵具有一个散度结构，作者利用这一点建立了一个系统的框架。

方法论
作者围绕一个严格凸背景解 $\Phi$，开发了一个系统的更高阶线性化框架。该方法分为三个主要阶段：

1. 局部适定性与光滑依赖性：
   作者首先建立了 Dirichlet 问题在边界数据接近 $\Phi|_{\partial \Omega}$ 时的局部适定性。他们证明了解算子 $S: \eta \mapsto u_\eta$ 关于边界数据是光滑的 ($C^k$)。这使得推导解算子的显式高阶 Fréchet 导数成为可能。

2. Cauchy 数据的线性化：
   定义一个非线性 Cauchy 数据集为由靠近 $\Phi|_{\partial \Omega}$ 的边界数据 $\eta$ 组成的对 $(\eta, \partial_\nu u_\eta|_{\partial \Omega})$。作者表明，该非线性数据集的一阶变分与控制线性化方程的线性椭圆算子 $L_\Phi$ 的 Cauchy 数据集一致：
   $$L_\Phi v = \text{div}(C_\Phi \nabla v) - b_\Phi \cdot \nabla v - q_\Phi v = 0,$$
   其中系数由背景解和非线性项决定：

• $C_\Phi = \text{cof } D^2 \Phi$ （Hessian 的余因子矩阵），
• $b_\Phi = \nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$，
• $q_\Phi = \partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$。

至关重要的是，该线性化算子的主部是各向异性的，由余因子矩阵 $C_\Phi$ 决定。

3. 约简与高阶恒等式：
   利用一种 Alessandrini 型恒等式，作者建立了一个约简原理：非线性 Cauchy 数据集的相等意味着其对应的线性化 DN 映射相等。这把非线性反问题归约为与各向异性 Calderón 型问题相关的算子 $L_\Phi$ 的反问题。

对于高阶导数，作者推导了涉及线性化方程及其伴随方程解之乘积的积分恒等式。在这些乘积满足适当的密度假设下，这些恒等式允许恢复 $a$ 沿背景射流的高阶导数。

主要结果

• 一阶恢复： 如果两个非线性项 $a_1$ 和 $a_2$ 在靠近背景解 $\Phi$ 处产生相同的非线性 Cauchy 数据，则它们的关联线性化算子的 DN 映射一致。因此，量 $\partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ 和 $\nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ 被确定（沿背景射流），其确定程度受限于各向异性 Calderón 问题自然的规范不变性（边界固定微分同胚）。
• 高阶恢复： 如果背景解是固定的（$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi$）且低阶导数已已知相等，则高阶线性化恒等式允许恢复高阶导数 $d^k_{(z,p)} a(x, \Phi, \nabla \Phi)$。这依赖于线性化方程及其伴随方程解之乘积的密度性质。
• 具体应用：
  • 半线性情形： 若 $a$ 与 $\nabla u$ 无关（半线性），则线性化算子退化为 Schrödinger 方程。在维度 $n \ge 3$ 时，这对于二次背景（$\Phi(x) = |x|^2/2$）下的 $\partial_z a$ 提供了唯一性。
  • 最优传输： 对于源自最优传输（特别是平衡构型 $\Phi(x) = |x|^2/2$）的非线性项，其线性化方程退化为标准的各向同性电导率方程。这建立了与经典 Calderón 问题的直接联系，从而可以恢复传输密度。
  • 反源问题： 在 $a(x, u, \nabla u) = f(x)$ 的情况下，问题归结为恢复源项 $f(x)$，这与严格凸函数类余因子矩阵的刚性性质相关。

意义与主张
本文声称，从 Calderón 型边界测量的角度出发，对全非线性 Monge–Ampère 方程进行了首次系统性研究。其主要贡献在于证明了尽管方程具有全非线性特征，但仍可以通过高阶线性化系统地将其归约为一系列线性各向异性反问题。

作者强调，他们的方法架起了全非线性 PDE 与线性反问题之间的桥梁，并利用了 Monge–Ampère 算子的特定散度结构。虽然对完整非线性项的恢复取决于相关的各向异性 Calderón 问题的可解性（在没有额外几何假设的情况下，该问题在一般维度下仍是开放的），但本文确立了非线性数据在自然规范下决定了线性化系数。此外，作者展示了在特定几何设置下（如二次背景）以及结构性假设下（如半线性或最优传输平衡态），可以获得无条件的唯一性结果，从而恢复非线性项沿背景轨迹的完整泰勒展开。