Inverse Problems for the Monge--Ampère Equation: Linearization and Nonlinear Recovery

Résumé technique : Problèmes inverses pour l'équation de Monge–Ampère : Linéarisation et récupération non linéaire

Énoncé du problème
Ce travail étudie les problèmes inverses de valeurs limites pour l'équation de Monge–Ampère pleinement non linéaire :
$$\det D^2 u = a(x, u, \nabla u) \quad \text{dans } \Omega,$$
où $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine borné et $a$ est une non-linéarité inconnue. Motivés par le problème classique de Calderón (tomographie d'impédance électrique), les auteurs se demandent si le « jet » de la non-linéarité $a$ le long d'une solution de fond strictement convexe $\Phi$ peut être récupéré à partir de mesures aux limites. Plus précisément, l'objectif est de déterminer les dérivées de $a$ par rapport à ses arguments $(x, z, p)$ le long de la trajectoire $(x, \Phi(x), \nabla \Phi(x))$ en utilisant l'ensemble de données de Cauchy non linéaire.

Contrairement aux équations semi-linéaires ou quasi-linéaires, les équations pleinement non linéaires manquent généralement d'une application de Dirichlet-vers-Neumann (DN) canonique et ne se connectent pas naturellement aux problèmes inverses linéaires. L'équation de Monge–Ampère présente un défi unique dû à sa nature pleinement non linéaire, mais elle possède une structure de divergence via la matrice des cofacteurs de l'Hessien, que les auteurs exploitent pour établir un cadre systématique.

Méthodologie
Les auteurs développent un cadre de linéarisation d'ordre supérieur systématique autour d'une solution de fond strictement convexe $\Phi$. L'approche procède en trois étapes principales :

1. Bien-posé local et dépendance lisse :
   Les auteurs établissent d'abord la bien-posé local du problème de Dirichlet pour des données aux limites proches de $\Phi|_{\partial \Omega}$. Ils prouvent que l'opérateur de solution $S: \eta \mapsto u_\eta$ est lisse ($C^k$) par rapport aux données aux limites. Cela permet de dériver des formules explicites pour les dérivées de Fréchet d'ordre supérieur de l'opérateur de solution.

2. Linéarisation des données de Cauchy :
   Un ensemble de données de Cauchy non linéaire est défini comme la collection de paires $(\eta, \partial_\nu u_\eta|_{\partial \Omega})$ pour des données aux limites $\eta$ proches de $\Phi|_{\partial \Omega}$. Les auteurs montrent que la première variation de cet ensemble de données non linéaires coïncide avec l'ensemble de données de Cauchy de l'opérateur elliptique linéaire $L_\Phi$ régissant l'équation linéarisée :
   $$L_\Phi v = \text{div}(C_\Phi \nabla v) - b_\Phi \cdot \nabla v - q_\Phi v = 0,$$
   où les coefficients sont déterminés par la solution de fond et la non-linéarité :

• $C_\Phi = \text{cof } D^2 \Phi$ (la matrice des cofacteurs de l'Hessien),
• $b_\Phi = \nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$,
• $q_\Phi = \partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$.

Crucialement, la partie principale de cet opérateur linéarisé est anisotrope, déterminée par la matrice des cofacteurs $C_\Phi$.

3. Réduction et identités d'ordre supérieur :
   En utilisant une identité de type Alessandrini, les auteurs établissent un principe de réduction : l'égalité des ensembles de données de Cauchy non linéaires implique l'égalité des applications DN linéaires correspondantes. Cela réduit le problème inverse non linéaire à un problème inverse de type Calderón anisotrope pour l'opérateur $L_\Phi$.

Pour les ordres supérieurs, les auteurs dérivent des identités intégrales impliquant des produits de solutions de l'équation linéarisée et de son adjoint. Sous certaines hypothèses de densité pour ces produits, ces identités permettent la récupération des dérivées d'ordre supérieur de $a$ le long du jet de fond.

Résultats clés

• Récupération du premier ordre : Si deux non-linéarités $a_1$ et $a_2$ génèrent les mêmes données de Cauchy non linéaires près d'une solution de fond $\Phi$, alors les applications DN de leurs opérateurs linéarisés associés coïncident. Par conséquent, les quantités $\partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ et $\nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ sont déterminées le long du jet de fond, à l'exception de l'invariance de jauge naturelle du problème de Calderón anisotrope (difféomorphismes fixant la frontière).
• Récupération d'ordre supérieur : Si la solution de fond est fixée ($\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi$) et que les dérivées d'ordre inférieur de $a$ sont déjà connues comme étant égales, des identités de linéarisation d'ordre supérieur permettent la récupération des dérivées supérieures $d^k_{(z,p)} a(x, \Phi, \nabla \Phi)$. Cela repose sur une propriété de densité des produits de solutions de l'équation linéarisée et de son adjoint.
• Applications spécifiques :
  • Cas semi-linéaire : Si $a$ est indépendant de $\nabla u$ (semi-linéaire), l'opérateur linéarisé se réduit à une équation de Schrödinger. En dimensions $n \ge 3$, cela produit une unicité pour la dérivée du premier ordre $\partial_z a$ le long de fonds quadratiques ($\Phi(x) = |x|^2/2$).
  • Transport optimal : Pour les non-linéarités issues du transport optimal, spécifiquement dans la configuration d'équilibre $\Phi(x) = |x|^2/2$, l'équation linéarisée se réduit à une équation de conductivité isotrope standard. Cela établit un lien direct avec le problème classique de Calderón, permettant la récupération des densités de transport.
  • Problèmes de sources inverses : Dans le cas où $a(x, u, \nabla u) = f(x)$, le problème se réduit à la récupération du terme de source $f(x)$, ce qui est lié aux propriétés de rigidité de la classe des matrices de cofacteurs de fonctions strictement convexes.

Signification et affirmations
L'article affirme fournir la première étude systématique des problèmes inverses pour les équations de Monge–Ampère pleinement non linéaires du point de vue des mesures aux limites de type Calderón. Sa contribution primaire est de démontrer que, malgré la nature pleinement non linéaire de l'équation, le problème inverse peut être systématiquement réduit à une famille de problèmes inverses anisotropes linéaires grâce à la linéarisation d'ordre supérieur.

Les auteurs soulignent que leur approche comble le fossé entre les EDP pleinement non linéaires et les problèmes inverses linéaires, en exploitant la structure de divergence spécifique de l'opérateur de Monge–Ampère. Bien que la récupération de la pleine non-linéarité dépende de la résolubilité du problème de Calderón anisotrope associé (qui reste ouvert dans les dimensions générales sans hypothèses géométriques supplémentaires), l'article établit que les données non linéaires déterminent les coefficients linéarisés à l'exception de la jauge naturelle. De plus, il démontre que sous des réglages géométriques spécifiques (tels que des fonds quadratiques) et des hypothèses structurelles (semi-linéarités ou équilibres de transport optimal), des résultats d'unicité inconditionnels peuvent être obtenus, récupérant ainsi le développement de Taylor complet de la non-linéarité le long de la trajectoire de fond.