Inverse Problems for the Monge--Ampère Equation: Linearization and Nonlinear Recovery

技術要約：モンジュ・アンペール方程式における逆問題：線形化と非線形回復

問題設定
本研究は、以下の完全非線形モンジュ・アンペール方程式に関する逆境界値問題を調査している：
$$\det D^2 u = a(x, u, \nabla u) \quad \text{in } \Omega,$$
ここで $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ は有界領域であり、$a$ は未知の非線形関数である。著者は、古典的なカルデロン問題（電気インピーダンス・トモグラフィ）に着想を得て、与えられた厳密凸な背景解 $\Phi$ に沿った非線形性 $a$ の「ジェット（jet）」が、非線形コーシー・データ集合から回復可能かどうかを問うている。具体的には、非線形コーシー・データ集合を用いて、引数 $(x, z, p)$ に関する $a$ の微分（軌跡 $(x, \Phi(x), \nabla \Phi(x))$ に沿ったもの）を決定することを目的としている。

半線形または準線形方程式とは異なり、完全非線形方程式は一般に標準的なディリクレ・ノイマン（DN）写像を持たず、線形逆問題と自然に結びつくこともない。モンジュ・アンペール方程式は、その完全非線形な性質ゆえに特有の課題を提示するが、本研究では、ヘッセ行列の余因子行列を介した発散構造を利用することで、体系的な枠組みを構築している。

手法
著者らは、厳密凸な背景解 $\Phi$ の周りでの高次線形化の体系的な枠組みを開発している。このアプローチは、主に以下の3つの段階で進行する：

1. 局所的な良置定常性と滑らかな依存性：
   著者らはまず、境界データ $\Phi|_{\partial \Omega}$ に近いディリクレ問題の局所的な良置定常性を確立する。彼らは、解作用素 $S: \eta \mapsto u_\eta$ が境界データに対して滑らか（$C^k$級）であることを証明している。これにより、解作用素の高次フレシェ微分に関する明示的な公式の導出が可能となる。

2. コーシー・データの線形化：
   非線形コーシー・データ集合は、$\Phi|_{\partial \Omega}$ の近傍にある境界データ $\eta$ のペア $(\eta, \partial_\nu u_\eta|_{\partial \Omega})$ として定義される。著者らは、この非線形データの第1変分が、線形化方程式を支配する線形楕円型作用素 $L_\Phi$ のコーシー・データ集合と一致することを示す：
   $$L_\Phi v = \text{div}(C_\Phi \nabla v) - b_\Phi \cdot \nabla v - q_\Phi v = 0,$$
   ここで、係数は背景解および非線形性によって決定される：

• $C_\Phi = \text{cof } D^2 \Phi$ （ヘッセ行列の余因子行列）、
• $b_\Phi = \nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$,
• $q_\Phi = \partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$.

決定的なことに、この線形化された作用素の主部分は、余因子行列 $C_\Phi$ によって決定される異方的なものである。

3. 簡約化と高次恒等式：
   アレッサンドリーニ型の恒等式を用いることで、著者らは簡約原理を確立する。すなわち、二つの非線形コーシー・データ集合が等しいことは、対応する線形化されたDN写像が等しいことを意味する。これにより、非線形逆問題は、作用素 $L_\Phi$ に対する異方的なカルデロン型の逆問題へと簡約される。

高次微分については、線形化された方程式の解とその共役の積を含む積分恒等式を導出している。これらの積に関する適切な密度仮定の下で、これらの恒等式を用いることで、背景ジェットに沿った $a$ の高次微分を回復することが可能となる。

主要な結果

• 1次微分の回復： 二つの非線形性が、背景解 $\Phi$ の近傍で同一の非線形コーシー・データを与える場合、それらの対応する線形化された作用素のDN写像は一致する。したがって、$\partial_z a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ および $\nabla_p a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ は、異方的なカルデロン問題の自然なゲージ不変性（境界を固定する微分同相写像）を除いて、背景ジェットに沿って決定される。
• 高次微分の回復： 背景解が固定されている場合（$\Phi_1 = \Phi_2 = \Phi$）、かつ低次微分が既に一致していることが既知である場合、高次線形化の恒等式を用いることで、高次の微分 $d^k_{(z,p)} a(x, \Phi, \nabla \Phi)$ の回復が可能となる。これは、線形化された方程式とその共役の解の積の密度特性に基づいている。
• 具体的な応用：
  • 半線形の場合： $a$ が $\nabla u$ に依存しない（半線形）場合、線形化された作用器はシュレディンガー方程式に帰着する。次元 $n \ge 3$ において、これは二次的な背景（$\Phi(x) = |x|^2/2$）に対する $\partial_z a$ の一意性をもたらす。
  • 最適輸送： 最適輸送から生じる非線形性、特に平衡構成 $\Phi(x) = |x|^2/2$ において、線形化された方程式は標準的な等方的な導電率方程式に帰着する。これは、古典的なカルデロン問題への直接的な繋がりを確立し、輸送密度の回復を可能にする。
  • 逆ソース問題： $a(x, u, \nabla u) = f(x)$ である場合、この問題はソース項 $f(x)$ の回復へと帰着し、これは厳密凸関数による余因子行列のクラスの剛性特性に関連している。

意義と主張
本論文は、カルデロン型の境界測定の観点から、完全非線形モンジュ・アンペール方程式に対する逆問題に関する初の体系的な研究を提供することを主張している。その主要な貢献は、完全非線形な性質にもかかわらず、逆問題が高次線形化を通じて、一連の線形異方型逆問題へと体系的に簡約できることを示した点にある。

著者らは、自身のアプローチが完全非線形偏微分方程式と線形逆問題の間の溝を埋めるものであり、モンジュ・アンペール作用素の特定の発散構造を活用していることを強調している。非線形性の完全な回復は、関連する異方的なカルデロン問題の可解性に依存するが（これは追加の幾何学的仮定なしには一般次元において未解決のままである）、本論文は、非線形データが自然なゲージを除いて線形化された係数を決定することを確立している。さらに、特定の幾何学的設定（二次的な背景など）や構造的仮定（半線形性や最適輸送の平衡状態）の下では、無条件の一意性の結果が得られ、背景の軌跡に沿った非線形性のテイラー展開の全容を回復できることを示している。