Eichler-Selberg relations for the third-order mock theta functions

技术摘要：三阶 Mock Theta 函数的 Eichler-Selberg 关系

问题陈述
本文研究了拉马努金（Ramanujan）三阶 mock theta 函数，特别是 $f(q)$ 和 $\omega(q)$ 的结构性质。虽然这些函数的模性已通过 Zwegers 的调和 Maass 型（harmonic Maass forms）理论得以确立，但本文旨在推广将这些函数与 Appell-Lerch 级数联系起来的经典恒等式。具体而言，本文旨在将 Watson 已知的关于 $f(q)$ 的恒等式（该恒等式将涉及 $f(q)$ 系数的和与 Appell-Lerch 级数联系起来）扩展到一个更广泛的“Eichler-Selberg 型”框架中。这类关系通常将由多项式（涉及切比雪夫多项式）加权的系数之和与模形式联系起来，类似于 Eichler-Selberg 类数公式。

研究方法
作者利用调和 Maass 型和全纯投影（holomorphic projection）理论来推导这些关系。其方法论框架分为三个主要阶段：

1. 识别模分量： 本文利用了 Zwegers 对 mock theta 函数的完备化处理。对于 $f(q)$，该函数被完备化为一个权重为 $1/2$ 的向量值实解析模形式 $H(\tau)$。其第一个分量 $H_1(\tau)$ 通过 $q^{-1/24}f(q)$ 加上一个涉及 theta 级数的非全纯积分与 $f(q)$ 相关联。
2. Rankin-Cohen 括号： 核心技术是构造 Rankin-Cohen 括号 $[H_1, \eta]_v$（以及对于 $\omega(q)$ 的 $[H_2, \eta]_v$），其中 $\eta(\tau)$ 是 Dedekind eta 函数。该括号将调和 Maass 型与模形式结合，生成一个权重为 $2v+1$ 的实解析模形式。
3. 全纯投影： 作者对这些 Rankin-Cohen 括号应用全纯投影算子 $\pi_{hol}$。该算子将实解析模形式映射到空间 $M_{2v+1}(\Gamma_0(8), \chi)$ 中的全纯模形式。通过涉及原函数非全纯部分的积分公式，可以显式计算出所得全纯形式的傅里叶系数。
4. Eisenstein 级数的确定： 为了识别所得的模形式，作者通过分析其在 $\Gamma_0(8)$ 尖点（具体为 $i\infty, 0, 1/2, 1/4$）处的值来确定其 Eisenstein 分量。通过求解基于这些尖点值的线性方程组，其 Eisenstein 部分被表示为标准 Eisenstein 级数的组合，随后这些级数被转化为 Lambert 级数。

主要贡献与结果

• Watson 恒等式的推广（定理 1）： 本文建立了对 $f(q)$ 的 Watson 恒等式的自然推广。对于任何整数 $v \geq 1$，证明了一个涉及 $f(q)$ 系数 $c_f(n)$ 且由切比雪夫多项式 $T_{2v}$ 加权的特定 $q$-级数是一个尖点形式（cusp form），属于 $S_{2v+1}(\Gamma_0(8), \left(\frac{-1}{\cdot}\right))$。

  • 该恒等式将涉及 $c_f(n)$ 和 $T_{2v}$ 的双重和与代表 Eisenstein 级数的 Appell-Lerch 型级数及 Lambert 级数的组合联系起来。
  • 消失结果： 对于 $v=1$ 和 $v=2$，所得的尖点形式恒等于零。这使得包括 Watson 原型恒等式在内的已知恒等式成为其特例。
  • 非零情况： 对于 $v=3$，该尖点形式不为零，并被显式地识别为 eta 乘积 $\eta^4(z)\eta^{10}(2z)$ 的倍数。

• 针对 $\omega(q)$ 的类似结果（定理 2）： 文中证明了一个针对三阶 mock theta 函数 $\omega(q)$ 的平行定理。本文建立了一个 Eichler-Selberg 型关系，其中涉及 $\omega(q)$ 系数 $c_\omega(n)$ 和切比雪夫多项式的 $q$-级数产生一个属于 $S_{2v+1}(\Gamma_0(8), \chi_{-4})$ 的尖点形式。

  • 与定理 1 类似，该尖点形式在 $v=1$ 和 $v=2$ 时消失，从而恢复了 $\omega(q)$ 的经典恒等式，但在更高权重下则不为零。

• 技术引理： 本文提供了若干 $q$-级数恒等式的严格证明（引理 7–11），这些引理有助于实现 Hecke 型不定 theta 级数与广义 Appell-Lerch 级数之间的转换，以及 Eisenstein 级数向 Lambert 级数的转换。

意义与主张
本文声称为三阶 mock theta 函数的经典恒等式提供了一个“自然的推广”。其主要意义在于：

1. 扩展范围： 它超越了特定的 $v=0$（或权重 1）的情形，进入了任意权重 $2v+1$ 的领域，揭示了一个由 $v$ 参数化的恒等式族。
2. 方法论扩展： 作者断言，所呈现的方法——即利用调和 Maass 型的 Rankin-Cohen 括号和全纯投影——可以扩展到研究除三阶之外的其他类别的 mock theta 函数。
3. 新颖性： 本文指出，对于 $v=1$ 和 $v=2$ 导致的结果（即消失的尖点形式）以及对于 $v=3$ 的非零尖点形式的具体形式，此前从未在文献中出现过。

这项工作被定位为对 mock theta 函数算术理论的贡献，通过调和 Maass 型的视角，将它们的系数与模形式及类数理论联系起来。