Eichler-Selberg relations for the third-order mock theta functions

技術要約：3次モック・テータ関数におけるアイヒラー・ゼルベルグ関係式

問題提起
本論文は、ラマヌジャンの3次モック・テータ関数、特に $f(q)$ および $\omega(q)$ の構造的性質を扱う。これらの関数のモジュラリティはゼゲーズ（Zwegers）の調和・ホマア・フォーム（harmonic Maass forms）の理論を通じて確立されているが、本論文は、これらの関数とアペル・レルヒ・級数（Appell-Lerch series）を関連付ける既知の恒等式を一般化することを目的としている。具体的には、 $f(q)$ の係数に関する和を $f(q)$ のアペル・レルヒ・級数に関連付けるワトソン（Watson）の既知の恒等式を、より広範な「アイヒラー・ゼルベルグ型」の関係式の枠組みへと拡張することを目指している。これらの関係式は、通常、チェビシェフ多項式（Chebyshev polynomials）を用いた多項式による重み付き係数の和を、アイヒラー・ゼルベルグの類数公式と同様に、モジュラー形式へと結びつけるものである。

手法
著者は、これらの関係式を導出するために、調和・ホマ・フォームおよび正則射影（holomorphic projection）の理論を用いている。手法の枠組みは、主に以下の3つの段階で進行する。

1. モジュラー成分の特定: 論文では、ゼゲーズによるモック・テータ関数の完備化を利用している。 $f(q)$ について、関数は重さ $1/2$ のベクトル値実解析的モジュラー形式 $H(\tau)$ へと完備化される。第1成分 $H_1(\tau)$ は、$q^{-1/24}f(q)$ と、テータ級数を含む非正則な積分によって関連付けられている。
2. ランキン・コーエン・ブラケット（Rankin-Cohen brackets）: 中核となる技術は、ランキン・コーエン・ブラケット $[H_1, \eta]_v$ （および $\omega(q)$ に対しては $[H_2, \eta]_v$ ）を構成することである。ここで $\eta(\tau)$ はデデキントのエータ関数である。このブラケットは、調和・ホマ・フォームとモジュラー形式を組み合わせ、重さ $2v+1$ の実解析的モジュラー形式を生成する。
3. 正則射影: 著者は、これらのランキン・コーアン・ブラケットに対して正則射影演算子 $\pi_{hol}$ を適用する。この演算子は、実解析的モジュラー形式を、空間 $M_{2v+1}(\Gamma_0(8), \chi)$ に属する正則モジュラー形式へと写像する。得られる正則形式のフーリエ係数は、元の関数の非正則部分を含む積分公式を通じて明示的に計算される。
4. アイゼンシュタイン級数の決定: 得られるモジュラー形式を特定するために、著者は $\Gamma_0(8)$ のカスプ（特に $i\infty, 0, 1/2, 1/4$）における値の解析を通じて、そのアイゼンシュタイン成分を決定する。これにより、カスプの値に基づく連立一次方程式を解くことで、アイゼンシュタイン成分を標準的なアイゼンシュタイン級数の組み合わせとして表現する。これらはその後、ランベルト級数へと変換される。

主要な貢献および結果

• ワトソンの恒等式の一般化（定理1）: 本論文は、$f(q)$ の係数 $c_f(n)$ をチェビシェフ多項式 $T_{2v}$ で重み付けした、 $f(q)$ に関するワトソンの恒等式の自然な一般化を確立している。任意の整数 $v \geq 1$ に対して、特定の $q$ 級数は、 $\Gamma_0(8), \left(\frac{-1}{\cdot}\right)$ に関するカスプ形式であることが示される。

  • この恒等式は、$c_f(n)$ と $T_{2v}$ を含む二重和を、アペル・レルヒ型の級数とアイゼンシュタイン級数を表すランベルト級数の組み合わせに等置する。
  • 消滅の結果: $v=1$ および $v=2$ の場合、得られるカスプ形式は恒等的に消滅する。これにより、既知の恒等式（ワトソンの元の恒等式を含む）が特殊なケースとして回収される。
  • 非消滅の場合: $v=3$ の場合、カスプ形式は消滅せず、エータ商 $\eta^4(z)\eta^{10}(2z)$ の定数倍として明示的に特定される。

• $\omega(q)$ に対する類似の結果（定理2）: 3次モック・テータ関数 $\omega(q)$ についても、同様の定理が証明されている。本論文は、係数 $c_\omega(n)$ とチェビシェフ多項式を用いる $q$ 級数が、 $\Gamma_0(8), \chi_{-4}$ に関するカスプ形式を与える、アイヒラー・ゼルベルグ型の関係式を確立している。

  • 定理1と同様に、このカスプ形式は $v=1$ および $v=2$ で消滅し、 $\omega(q)$ に関する古典的な恒等式を回収するが、より高い重みでは消滅しない。

• 技術的補題: 論文では、ヘッケ型不定テータ級数と一般化されたアペル・レルヒ級数との間の変換、およびアイゼンシュタイン級数のランベルト級数への変換を容易にする、いくつかの $q$ 級数恒等式（補題7–11）の厳密な証明が提供されている。

意義および主張
本論文は、3次モック・テータ関数の古典的な恒等式に対する「自然な一般化」を提供すると主張している。主な意義は以下の通りである：

1. 範囲の拡張: $v=0$（または重さ1）の特定のケースを超えて、任意の重さ $2v+1$ へと拡張し、$v$ によってパラメータ化された一連の恒等式を明らかにしている。
2. 手法の拡張: 著者は、提示された手法――すなわち、調和・ホマ・フォームのランキン・コーエン・ブラケットと正則射影を用いる手法――が、3次の範囲を超えた他のクラスのモック・テータ関数を研究するためにも拡張可能であると主張している。
3. 新規性: 論文は、$v=1$ および $v=2$ で得られる特定の恒等式（結果としてカスプ形式が消滅するもの）および $v=3$ における非消滅のカスプ形式の明示的な形態が、これまで文献に現れていないことを指摘している。

本研究は、調和・ホマ・フォームの観点から、モック・テータ関数の係数をモジュラー形式および類数の理論へと結びつける、モック・テータ関数の算術理論への貢献として位置づけられている。