Eichler-Selberg relations for the third-order mock theta functions

Resumen Técnico: Relaciones de Eichler-Selberg para Funciones Mock Theta de Tercer Orden

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades estructurales de las funciones mock theta de tercer orden de Ramanujan, específicamente $f(q)$ y $\omega(q)$. Si bien la modularidad de estas funciones fue establecida a través de la teoría de las formas de Maass armónicas de Zwegers, el artículo busca generalizar las identidades clásicas que relacionan estas funciones con series de Appell-Lerch. Específicamente, pretende extender la identidad conocida de Watson para $f(q)$, la cual relaciona una suma que involucra los coeficientes de $f(q)$ con una serie de Appell-Lerch, hacia un marco más amplio de relaciones de "tipo Eichler-Selberg". Estas relaciones conectan típicamente sumas de coeficientes ponderados por polinomios (que involucran polinomios de Chebyshev) con formas modulares, de manera análoga a la fórmula del número de clase de Eichler-Selberg.

Metodología
El autor emplea la teoría de las formas de Maass armónicas y la proyección holomorfa para derivar estas relaciones. El marco metodológico procede en tres etapas principales:

1. Identificación de Componentes Modulares: El artículo utiliza la completación de Zwegers de las funciones mock theta. Para $f(q)$, la función se completa a una forma modular real-analítica de peso vectorial $H(\tau)$ de peso $1/2$. El primer componente, $H_1(\tau)$, está relacionado con $f(q)$ mediante $q^{-1/24}f(q)$ más una integral no holomorfa que involucra una serie theta.
2. Corchetes de Rankin-Cohen: La técnica central consiste en construir el corchete de Rankin-Cohen $[H_1, \eta]_v$ (y de manera similar $[H_2, \eta]_v$ para $\omega(q)$), donde $\eta(\tau)$ es la función eta de Dedekind. Este corchete combina la forma de Maass armónica con una forma modular para producir una forma modular real-analítica de peso $2v+1$.
3. Proyección Holomorfa: El autor aplica el operador de proyección holomorfa $\pi_{hol}$ a estos corchetes de Rankin-Cohen. Este operador mapea la forma modular real-analítica a una forma modular holomorfa en el espacio $M_{2v+1}(\Gamma_0(8), \chi)$. Los coeficientes de Fourier de la forma modular holomorfa resultante se computan explícitamente mediante una fórmula integral que involucra la parte no holomorfa de la función original.
4. Determinación de la Serie de Eisenstein: Para identificar la forma modular resultante, el autor determina su componente de Eisenstein analizando sus valores en los cúspides de $\Gamma_0(8)$ (específicamente $i\infty, 0, 1/2, 1/4$). Al resolver un sistema de ecuaciones lineales basado en estos valores de cúspide, la parte de Eisenstein se expresa en términos de series de Eisenstein estándar, que luego se convierten en series de Lambert.

Contribuciones Clave y Resultados

• Generalización de la Identidad de Watson (Teorema 1): El artículo establece una generalización natural de la identidad de Watson para $f(q)$. Para cualquier entero $v \geq 1$, se demuestra que una serie $q$ específica que involucra los coeficientes $c_f(n)$ de $f(q)$, ponderados por los polinomios de Chebyshev $T_{2v}$, es una forma de cúspide en $S_{2v+1}(\Gamma_0(8), \left(\frac{-1}{\cdot}\right))$.

  • La identidad iguala una doble suma que involucra $c_f(n)$ y $T_{2v}$ con una combinación de series de tipo Appell-Lerch y series de Lambert que representan series de Eisenstein.
  • Resultados de Vanecimiento: Para $v=1$ y $v=2$, la forma de cúspide resultante se anula identicamente. Esto recupera identidades conocidas (incluyendo la original de Watson) como casos especiales.
  • Caso de No Vanecimiento: Para $v=3$, la forma de cúspide es no nula y se identifica explícitamente como un múltiplo del cociente de eta $\eta^4(z)\eta^{10}(2z)$.

• Resultado Análogo para $\omega(q)$ (Teorema 2): Se prueba un teorema paralelo para la función mock theta de tercer orden $\omega(q)$. El artículo establece una relación de tipo Eichler-Selberg donde una serie $q$ que involucra los coeficientes $c_\omega(n)$ y los polinomios de Chebyshev produce una forma de cúspide en $S_{2v+1}(\Gamma_0(8), \chi_{-4})$.

  • Similar al Teorema 1, esta forma de cúspide se anula para $v=1$ y $v=2$, recuperando la identidad clásica para $\omega(q)$, pero es no nula para pesos superiores.

• Lemas Técnicos: El artículo proporciona pruebas rigurosas de varias identidades de series $q$ (Lemmas 7–11) que facilitan la transformación entre series theta indefinidas de tipo Hecke y series de Appell-Lerch generalizadas, así como la conversión de series de Eisenstein en series de Lambert.

Significancia y Pretensiones
El artículo afirma proporcionar una "generalización natural" de las identidades clásicas para las funciones mock theta de tercer orden. La significancia primaria radica en:

1. Extensión del Alcance: Va más allá del caso específico de $v=0$ (o peso 1) hacia pesos arbitrarios $2v+1$, revelando una familia de identidades parametrizadas por $v$.
2. Extensión Metodológica: El autor afirma que el método presentado —utilizando corchetes de Rankin-Cohen de formas de Maass armónicas y proyección holomorfa— puede extenderse para estudiar otras clases de funciones mock theta más allá del tercer orden.
3. Novedad: El artículo señala que las identidades específicas derivadas para $v=1$ y $v=2$ (que resultan en formas de cúspide que se anulan) y la forma explícita de la forma de cúspide no nula para $v=3$ no habían aparecido previamente en la literatura.

El trabajo se enmarca como una contribución a la teoría aritmética de las funciones mock theta, vinculando sus coeficientes con la teoría de formas modulares y números de clase a través de la perspectiva de las formas de Maass armónicas.