PDE-constrained optimization for virtual sensing in structural dynamics: Full-field displacement and force recovery from sparse sensors

技术摘要：结构动力学中虚拟传感的偏微分方程约束优化研究

问题陈述
虚拟传感——即从稀疏传感器测量值中恢复全场结构响应（位移、应变、加速度）及施加载荷的能力——是结构健康监测（SHM）、疲劳评估和损伤检测的关键能力。虽然结构动力学领域广泛采用模态展开（modal expansion）来实现这一目标，但该方法存在根本性的局限性。模态展开将位移表示为一组截断的主特征模态（$N_d$）的线性组合，其中 $N_d$ 受限于传感器的数量（$N_s$）。这种方法会引入模态截断误差，尤其是在高频模态十分显著的薄壁结构中。此外，模态展开是纯运动学的；它仅将传感器数据拟合到模态形状上，而不强制执行控制偏微分方程（PDE）。因此，它无法通过物理定律将信息传播到未观测到的自由度（DOF），导致远离传感器位置的重建结果不准确。此外，通过模态展开进行力恢复（反向计算）是不稳定的，因为动态刚度算子会放大截断误差，且无法将力定位到特定的边界。

研究方法
本研究将虚拟传感建模为一个**偏微分方程约束优化（PDE-CO）**问题。与将问题简化为低维模态空间的模态展开不同，PDE-CO 在全阶有限元（FE）系统上运行。

1. 公式化：

   • 控制方程： 在简谐激励下的线性弹性动力学方程作为等式约束：$D_{ff}(\omega)\hat{U}_f = \hat{F}_f$，其中 $D_{ff} = K_{ff} - \omega^2 M_{ff}$ 是动态刚度矩阵，$\hat{U}_f$ 是自由自由度位移，$\hat{F}_f$ 是外部作用力。
   • 优化变量： 未知的力分布被参数化为 $\hat{F}_f = P\theta$，其中 $\theta$ 是候选受载自由度的幅值向量，$P$ 是布尔选择矩阵。
   • 目标函数： 目标是最小化预测加速度与观测加速度之间的偏差，并辅以 Tikhonov 正则化项：
     $$\min_{\theta} J(\theta) = \| -\omega^2 S_f D_{ff}^{-1} P \theta - \hat{a}_{obs} \|^2 + \alpha \|\theta\|^2$$
     此处，$S_f$ 是传感器选择矩阵，$\alpha$ 是正则化权重。

2. 求解策略：

   • 降维空间法（Reduced-Space Approach）： 通过求解 PDE 约束来消除位移 $\hat{U}_f$，从而将问题转化为关于 $\theta$ 的无约束优化问题。
   • 梯度计算： 该框架并未手动推导伴随方程，而是利用 JAX 库通过**反向模式自动微分（AD）**进行计算。它通过对线性求解器（$D_{ff}^{-1}$）进行微分来自动计算梯度 $\nabla_\theta J$，从而有效地隐式执行伴随求解过程（$D_{ff}^\top \lambda = w$）。
   • 优化算法： 使用 L-BFGS 拟牛顿法迭代更新 $\theta$ 以最小化目标函数。每次迭代需要一次前向求解和一次伴随求解（两者均复用 $D_{ff}$ 的 LU 分解）。
   • 实现流水线： 该框架将用于有限元组装和矩阵生成的离线阶段（基于 CPU 的 FEniCSx）与用于微分优化和重建的在线阶段（基于 GPU 的 JAX）相结合。

核心贡献

• 新颖框架： 这是首次将 PDE-CO 应用于从稀疏振动传感器中恢复全场位移和力的研究，超越了模态展开的局限性。
• 联合恢复： 该方法在单个优化循环中同时恢复全场位移和施加的力分布，确保了解出的结果在每一迭代步都与控制 PDE 保持物理一致性。
• 可微仿真： FEniCSx 与 JAX 的集成实现了高效的梯度计算，消除了手动推导伴随方程的需求，并允许该框架自然地扩展到非线性问题。
• GPU 加速： 实现过程利用 GPU 加速（NVIDIA RTX 5070 Ti）来处理全阶有限元系统所需的稠密线性求解，实现了相对于基于 CPU 方法的显著加速。

数值结果
该框架在三个复杂度递增的基准问题上进行了验证：悬臂板、90° 弯管和反应堆压力容器（RPV）。在所有案例中，PDE-CO 在位移恢复精度方面均优于模态展开，并提供了更优的力定位能力。

• 位移精度： PDE-CO 始终实现了亚百分比级别的精度。对于模态截断严重影响基准方法的薄板，其提升效果最为显著。
• 力恢复： 不同于产生伪造且非局部化力估计的模态展开，PDE-CO 能正确识别载荷区域（例如，板/管的自由端面以及 RPV 的内表面）。
• 计算性能： 虽然 PDE-CO 的计算强度高于模态展开，但 GPU 加速为 RPV 案例提供了高达 64.8× 的加速（将单次迭代求解时间从约 7.6s 降至约 0.15s），使大规模优化变得可行。

意义与主张
作者声称，PDE-CO 通过消除模态截断误差并利用控制 PDE 强制执行物理一致性，为模态展开提供了一个鲁棒的替代方案。该方法通过动态刚度算子将稀疏的传感器信息传播到整个定义域的能力，使得即使在远离传感器的区域也能实现精确重建。

至关重要的是，论文强调力识别是 PDE-CO 的一个显著优势。由于模态展开只能通过不稳定的反向计算得出力估计，而 PDE-CO 将力视为主要的优化变量，并将其与位移进行联合优化。这种能力对于涉及不可达表面（例如压力容器内壁）的结构健康监测场景尤为重要，因为在这些场景中直接测量是不可能的。

研究结论指出，虽然对于具有良好传感器/模态比例的厚壁结构，模态展开仍是一个强有力的基准方法，但 PDE-CO 提供了卓越的精度和独特的力定位能力，特别是在薄壁结构或复杂载荷条件下。该框架对可微仿真和 GPU 加速的依赖，为实现结构动力学中基于物理的实时数字孪生指明了一条可行路径。