PDE-constrained optimization for virtual sensing in structural dynamics: Full-field displacement and force recovery from sparse sensors

Resumen Técnico: Optimización Restringida por EDP para la Sensación Virtual en Dinámica Estructural

Planteamiento del Problema
La sensación virtual —la recuperación de las respuestas estructurales de campo completo (desplazamiento, deformación, aceleración) y de las fuerzas aplicadas a partir de mediciones dispersas de sensores— es una capacidad crítica para el monitoreo de la salud estructural (SHM), la evaluación de fatiga y la detección de daños. Mientras que la comunidad de dinámica estructural ha adoptado ampliamente la expansión modal para este propósito, dicho método presenta limitaciones fundamentales. La expansión modal representa el desplazamiento como una combinación lineal de un conjunto truncado de modos propios dominantes ($N_d$), donde $N_d$ está limitado por el número de sensores ($N_s$). Este enfoque introduce un error de truncamiento modal, particularmente en estructuras delgadas donde los modos de alta frecuencia son significativos. Además, la expansión modal es puramente cinemática; ajusta los datos de los sensores a las formas modales sin imponer la ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) gobernante. En consecuencia, no puede propagar la información a los grados de libertad (DOF) no observados mediante leyes físicas, lo que conduce a reconstrucciones inexactas lejos de las ubicaciones de los sensores. Adicionalmente, la recuperación de fuerzas mediante expansión modal (retrocálculo) es inestable, ya que el operador de rigidez dinámica amplifica los errores de truncamiento y no logra localizar las fuerzas en límites específicos.

Metodología
Este estudio formula la sensación virtual como un problema de optimización restringida por EDP (PDE-CO). A diferencia de la expansión modal, que reduce el problema a un espacio modal de baja dimensión, la PDE-CO opera sobre el sistema de elementos finitos (FE) de orden completo.

1. Formulación:

   • Ecuación Gobernante: La ecuación elastodinámica lineal bajo excitación armónica sirve como restricción de igualdad: $D_{ff}(\omega)\hat{U}_f = \hat{F}_f$, donde $D_{ff} = K_{ff} - \omega^2 M_{ff}$ es la matriz de rigidez dinámica, $\hat{U}_f$ es el desplazamiento de los DOF libres, y $\hat{F}_f$ es la fuerza externa.
   • Variable de Optimización: La distribución de fuerza desconocida se parametriza como $\hat{F}_f = P\theta$, donde $\theta$ es el vector de amplitudes de fuerza en los candidatos de DOF cargados y $P$ es una matriz de selección booleana.
   • Función Objetivo: El objetivo es minimizar el desajuste entre las aceleraciones predichas y observadas, regularizado por un término de Tikhonov:
     $$\min_{\theta} J(\theta) = \| -\omega^2 S_f D_{ff}^{-1} P \theta - \hat{a}_{obs} \|^2 + \alpha \|\theta\|^2$$
     Aquí, $S_f$ es la matriz de selección de sensores y $\alpha$ es el peso de regularización.

2. Estrategia de Solución:

   • Enfoque de Espacio Reducido: El desplazamiento $\hat{U}_f$ se elimina resolviendo la restricción de la EDP para cada $\theta$ de prueba, reduciendo el problema a una optimización no restringida sobre $\theta$.
   • Cómputo de Gradientes: En lugar de derivar manualmente las ecuaciones adjuntas, el marco utiliza diferenciación automática (AD) de modo inverso a través de la biblioteca JAX. Esto computa automáticamente el gradiente $\nabla_\theta J$ diferenciando a través del resolvedor lineal ($D_{ff}^{-1}$), realizando efectivamente el cálculo adjunto ($D_{ff}^\top \lambda = w$) de forma implícita.
   • Algoritmo de Optimización: El método cuasi-Newton L-BFGS actualiza iterativamente $\theta$ para minimizar la función objetivo. Cada iteración requiere una resolución directa y una resolución adjunta (ambas reutilizando la factorización LU de $D_{ff}$).
   • Pipeline de Implementación: El marco acopla una etapa offline (FEniCSx en CPU) para el ensamblaje de FE y la generación de matrices con una etapa online (JAX en GPU) para la optimización diferenciable y la reconstrucción.

Contribuciones Clave

• Marco Novel: Esta es la primera aplicación de la PDE-CO para recuperar el desplazamiento de campo completo y la fuerza a partir de sensores de vibración dispersos en la dinámica estructural, superando las limitaciones del truncamiento modal.
• Recuperación Conjunta: El método recupera simultáneamente el desplazamiento de campo completo y la distribución de fuerza aplicada dentro de un único bucle de optimización, asegurando que la solución sea físicamente consistente con la EDP gobernante en cada iteración.
• Simulación Diferenciable: La integración de FEniCSx y JAX permite un cómputo eficiente de gradientes mediante AD, eliminando la necesidad de la derivación manual de la adjunta y permitiendo que el marco se extienda naturalmente a problemas no lineales.
• Aceleración por GPU: La implementación aprovecha la aceleración por GPU (NVIDIA RTX 5070 Ti) para manejar las resoluciones lineales densas requeridas por el sistema FE de orden completo, logrando aceleraciones significativas sobre los enfoques basados en CPU.

Resultados Numéricos
El marco fue validado en tres problemas de referencia de complejidad creciente: una placa en voladizo, un tubo de codo a 90° y un recipiente de presión de reactor (RPV). En todos los casos, la PDE-CO superó a la expansión modal en la precisión de la recuperación del desplazamiento y proporcionó una localización de fuerza superior.

• Precisión del Desplazamiento: La PDE-CO logró consistentemente una precisión inferior al 1%. La mejora fue más drástica para la placa delgada, donde el truncamiento modal degradó severamente el método base.
• Recuperación de Fuerza: A diferencia de la expansión modal, que produjo estimaciones de fuerza espurias y no localizadas, la PDE-CO identificó correctamente las regiones de carga (por ejemplo, la cara del extremo libre para la placa/tubo y la superficie interna para el RPV).
• Rendimiento Computacional: Aunque la PDE-CO es computacionalmente más intensiva que la expansión modal, la aceleración por GPU proporcionó aceleraciones de hasta 64.8× para el caso del RPV (reduciendo el tiempo de resolución por iteración de ~7.6s a ~0.15s), haciendo que la optimización a gran escala sea tratable.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que la PDE-CO ofrece una alternativa robusta a la expansión modal al eliminar el error de truncación modal e imponer consistencia física a través de la EDP gobernante. La capacidad del método para propagar la información dispersa de los sensores a todo el dominio mediante el operador de rigidez dinámica permite una reconstrucción precisa incluso en regiones alejadas de los sensores.

Crucialmente, el artículo destaca que la identificación de fuerzas es una ventaja distintiva de la PDE-CO. Mientras que la expansión modal solo puede derivar estimaciones de fuerza mediante un retrocálculo inestable, la PDE-CO trata la fuerza como la variable de optimización primaria, optimizándola conjuntamente con el desplazamiento. Esta capacidad es particularmente significativa para escenarios de monitoreo de salud estructural que involucran superficies inaccesibles (por ejemplo, la pared interna de un recipiente de presión), donde la medición directa es imposible.

El estudio concluye que, si bien la expansión modal sigue siendo una base sólida para estructuras de paredes gruesas con relaciones sensor-modo favorables, la PDE-CO proporciona una precisión superior y capacidades únicas de localización de fuerza, especialmente para estructuras delgadas o condiciones de carga complejas. La dependencia del marco en la simulación diferenciable y la aceleración por GPU lo posiciona como un camino viable hacia gemelos digitales basados en la física en tiempo real para la dinámica estructural.