PDE-constrained optimization for virtual sensing in structural dynamics: Full-field displacement and force recovery from sparse sensors

Resumo Técnico: Otimização Restrita por EDP para Sensoriamento Virtual em Dinâmica Estrutural

Definição do Problema
O sensoriamento virtual — a recuperação de respostas estruturais de campo total (deslocamento, deformação, aceleração) e forças aplicadas a partir de medições esparsas de sensores — é uma capacidade crítica para o monitoramento da integridade estrutural (SHM), avaliação de fadiga e detecção de danos. Embora a comunidade de dinâmica estrutural tenha adotado amplamente a expansão modal para este fim, o método sofre de limitações fundamentais. A expansão modal representa o deslocamento como uma combinação linear de um conjunto truncado de modos próprios dominantes ($N_d$), onde $N_d$ é limitado pelo número de sensores ($N_s$). Esta abordagem introduz o erro de truncamento modal, particularmente em estruturas finas onde modos de alta frequência são significativos. Além disso, a expansão modal é puramente cinemática; ela ajusta os dados dos sensores às formas modais sem impor a equação diferencial parcial (EDP) governante. Consequentemente, ela não consegue propagar informações para graus de liberdade (DOF) não observados via leis físicas, levando a reconstruções imprecisas longe das localizações dos sensores. Adicionalmente, a recuperação de força via expansão modal (retrocálculo) é instável, pois o operador de rigidez dinâmica amplifica erros de truncamento e falha em localizar forças a fronteiras específicas.

Metodologia
Este estudo formula o sensoriamento virtual como um problema de otimização restrita por EDP (PDE-CO). Diferente da expansão modal, que reduz o problema a um espaço modal de baixa dimensão, a PDE-CO opera no sistema de elementos finitos (FE) de ordem total.

1. Formulação:

   • Equação Governante: A equação elastodinâmica linear sob excitação harmônica serve como uma restrição de igualdade: $D_{ff}(\omega)\hat{U}_f = \hat{F}_f$, onde $D_{ff} = K_{ff} - \omega^2 M_{ff}$ é a matriz de rigidez dinâmica, $\hat{U}_f$ é o deslocamento de DOF livre e $\hat{F}_f$ é a força externa.
   • Variável de Otimização: A distribuição de força desconhecida é parametrizada como $\hat{F}_f = P\theta$, onde $\theta$ é o vetor de amplitudes de força nos DOFs candidatos carregados e $P$ é uma matriz de seleção Booleana.
   • Função Objetivo: O objetivo é minimizar o erro entre as acelerações previstas e observadas, regularizado por um termo de Tikhonov:
     $$\min_{\theta} J(\theta) = \| -\omega^2 S_f D_{ff}^{-1} P \theta - \hat{a}_{obs} \|^2 + \alpha \|\theta\|^2$$
     Aqui, $S_f$ é a matriz de seleção de sensores e $\alpha$ é o peso de regularização.

2. Estratégia de Solução:

   • Abordagem de Espaço Reduzido: O deslocamento $\hat{U}_f$ é eliminado resolvendo a restrição da EDP para cada $\theta$ experimental, reduzindo o problema a uma otimização não restrita sobre $\theta$.
   • Computação de Gradiente: Em vez de derivar equações adjuntas manualmente, o framework utiliza diferenciação automática de modo reverso (AD) via biblioteca JAX. Isso computa automaticamente o gradiente $\nabla_\theta J$ diferenciando através do solver linear ($D_{ff}^{-1}$), realizando efetivamente o solver adjunto ($D_{ff}^\top \lambda = w$) de forma implícita.
   • Algoritmo de Otimização: O método quase-Newton L-BFGS atualiza iterativamente $\theta$ para minimizar a função objetivo. Cada iteração requer um solver direto e um solver adjunto (ambos reutilizando a fatoração LU de $D_{ff}$).
   • Pipeline de Implementação: O framework acopla uma etapa offline (FEniCSx em CPU) para montagem de FE e geração de matrizes com uma etapa online (JAX em GPU) para otimização diferenciável e reconstrução.

Principais Contribuições

• Framework Inovador: Esta é a primeira aplicação de PDE-CO para recuperar deslocamento de campo total e força a partir de sensores de vibração esparsos em dinâmica estrutural, indo além das limitações do truncamento modal.
• Recuperação Conjunta: O método recupera simultaneamente o deslocamento de campo total e a distribuição de força aplicada dentro de um único loop de otimização, garantindo que a solução seja fisicamente consistente com a EDP governante em cada iteração.
• Simulação Diferenciável: A integração de FEniCSx e JAX permite a computação eficiente de gradientes via AD, eliminando a necessidade de derivação manual de adjuntos e permitindo que o framework se estenda naturalmente para problemas não lineares.
• Aceleração por GPU: A implementação aproveita a aceleração por GPU (NVIDIA RTX 5070 Ti) para lidar com os solvers lineares densos exigidos pelo sistema FE de ordem total, alcançando ganhos de velocidade significativos sobre abordagens baseadas em CPU.

Resultados Numéricos
O framework foi validado em três problemas de referência de complexidade crescente: uma placa em balanço (cantilever), um tubo em cotovelo de 90° e um vaso de pressão de reator (RPV). Em todos os casos, a PDE-CO superou a expansão modal na precisão de recuperação de deslocamento e forneceu uma localização de força superior.

• Precisão de Deslocamento: A PDE-CO alcançou consistentemente precisão sub-percentual. A melhoria foi mais dramática para a placa fina, onde o truncamento modal degradou severamente o método de base.
• Recuperação de Força: Ao contrário da expansão modal, que produziu estimativas de força espúrias e não localizadas, a PDE-CO identificou corretamente as regiões de carregamento (ex: a face da extremidade livre para a placa/tubo e a superfície interna para o RPV).
• Desempenho Computacional: Embora a PDE-CO seja computacionalmente mais intensiva que a expansão modal, a aceleração por GPU proporcionou aumentos de velocidade de até 64,8× para o caso do RPV (reduzindo o tempo de solve por iteração de ~7,6s para ~0,15s), tornando a otimização de grande escala tratável.

Significância e Alegações
Os autores afirmam que a PDE-CO oferece uma alternativa robusta à expansão modal ao eliminar o erro de truncamento modal e impor consistência física através da EDP governante. A capacidade do método de propagar informações esparsas de sensores para todo o domínio via operador de rigidez dinâmica permite uma reconstrução precisa mesmo em regiões distantes dos sensores.

Crucialmente, o artigo destaca que a identificação de força é uma vantagem distinta da PDE-CO. Enquanto a expansão modal pode apenas derivar estimativas de força via retrocálculo instável, a PDE-CO trata a força como a variável primária de otimização, otimizando-a conjuntamente com o deslocamento. Essa capacidade é particularmente significativa para cenários de monitoramento de integridade estrutural envolvendo superfícies inacessíveis (ex: a parede interna de um vaso de pressão), onde a medição direta é impossível.

O estudo conclui que, embora a expansação modal permaneça uma base forte para estruturas de paredes espessas com relações favoráveis entre sensores e modos, a PDE-CO oferece maior precisão e capacidades únicas de localização de força, especialmente para estruturas finas ou condições de carregamento complexas. A dependência do framework em simulação diferenciável e aceleração por GPU posiciona-o como um caminho viável para gêmeos digitais baseados em física em tempo real para a dinâmica estrutural.