PDE-constrained optimization for virtual sensing in structural dynamics: Full-field displacement and force recovery from sparse sensors

技術要約：構造力学における仮想センシングのためのPDE制約付き最適化

問題提起
仮想センシング（疎なセンサ計測から全領域の構造応答（変位、歪み、加速度）および作用荷重を復元すること）は、構造ヘルスモニタリング（SHM）、疲労評価、および損傷検出において極めて重要な能力である。構造力学の分野では、この目的のためにモード展開法が広く採用されてきたが、この手法には根本的な限界が存在する。モード展開は、変位を支配的な固有モードの限定された集合（$N_d$）の線形結合として表現するが、$N_d$はセンサ数（$N_s$）によって制限される。このアプローチは、高周波モードが重要となる薄肉構造において、モード切り捨て誤差を導入する。さらに、モード展開は純粋に運動学的な手法であり、支配的な偏微分方程式（PDE）を強制することなくモード形状にセンサデータを適合させる。その結果、物理法則を通じて観測されていない自由度（DOF）へ情報を伝播させることができず、センサ位置から離れた領域での再構成精度が低下する。加えて、モード展開による力の復元（逆計算）は、動的剛性演算子が切り捨て誤差を増幅させ、境界への力を特定できないため、不安定である。

手法
本研究では、仮想センシングを**PDE制約付き最適化（PDE-CO）**問題として定式化する。低次元のモード空間へと問題を縮小するモード展開とは異なり、PDE-COはフルオーダーの有限要素（FE）システム上で動作する。

1. 定式化:

   • 支配方程式: 調和励起下における線形弾性力学方程式を等式制約として用いる：$D_{ff}(\omega)\hat{U}_f = \hat{F}_f$。ここで、$D_{ff} = K_{ff} - \omega^2 M_{ff}$ は動的剛性行列、$\hat{U}_f$ は自由DOFの変位、$\hat{F}_f$ は外力である。
   • 最適化変数: 未知の力分布は、候補となる荷重DOFにおける振幅ベクトル $\theta$ と、ブーリアン選択行列 $P$ を用いて $\hat{F}_f = P\theta$ としてパラメータ化される。
   • 目的関数: 予測された加速度と観測された加速度の間の不一致を最小化し、ティコノフ正則化項を加えることを目的とする：
     $$\min_{\theta} J(\theta) = \| -\omega^2 S_f D_{ff}^{-1} P \theta - \hat{a}_{obs} \|^2 + \alpha \|\theta\|^2$$
     ここで、$S_f$ はセンサ選択行列、$\alpha$ は正則化重みである。

2. 解法戦略:

   • 縮小空間アプローチ: 各試行 $\theta$ に対してPDE制約を解くことで変位 $\hat{U}_f$ を消去し、問題を $\theta$ に関する無制約最適化問題へと還元する。
   • 勾配計算: 手動で随伴方程式を導出する代わりに、本フレームワークはJAXライブラリを用いた**リバースモード自動微分（AD）**を利用する。これにより、線形ソルバー（$D_{ff}^{-1}$）を微分することで $\nabla_\theta J$ を自動的に計算し、実質的に随伴解（$D_{ff}^\top \lambda = w$）を暗黙的に実行する。
   • 最適化アルゴリズム: L-BFGS準ニュートン法を用いて、$\theta$ を反復的に更新し目的関数を最小化する。各反復では、1回のフォワードソルブと1回の随伴ソルブ（共に $D_{ff}$ のLU分解を再利用）が必要となる。
   • 実装パイライン: 本フレームワークは、FEのアセンブリと行列生成を行うオフライン段階（CPU上のFEniCSx）と、微分可能な最適化および再構成を行うオンライン段階（GPU上のJAX）を結合している。

主な貢献

• 新規性の高いフレームワーク: 振動センサからの疎なデータを用いて全領域の変位と力を復元するためにPDE-COを適用した初の事例であり、モード切り捨ての限界を超えている。
• 同時復元: 単一の最適化ループ内で、全領域の変位と作用する力を同時に復元し、解が各反復において支配的なPDEと物理的に整合するように保証する。
• 微分可能なシミュレーション: FEniCSxとJAXの統合により、ADによる効率的な勾配計算が可能となり、手動での随伴導出を排除するとともに、非線形問題への自然な拡張を可能にした。
• GPU加速: 実装にあたっては、フルオーダーのFEシステムに必要な密な線形計算を処理するため、GPU加速（NVIDIA RTX 5070 Ti）を活用し、CPUベースのアプローチに対して大幅な高速化を実現した。

数値結果
本フレームワークは、難易度が段階的に上がる3つのベンチマーク問題（片持ち板、90°エルボ管、原子炉圧力容器（RPV））を用いて検証された。すべてのケースにおいて、PDE-COは変位復元の精度においてモード展開を上回り、優れた力の局在化を実現した。

• 変位精度: PDE-COは一貫して1%未満の精度を達成した。改善は薄い板において最も顕著であり、そこではモード切り捨てによってベースラインの手法が著しく劣化していた。
• 力復元: 偽の、局在化していない力推定値を生じさせたモード展開とは異なり、PDE-COは荷重領域（例：板や管の自由端面、およびRPVの内表面）を正確に特定した。
• 計算性能: PDE-COはモード展開よりも計算負荷が高いものの、GPU加速により、RPVのケースで最大64.8倍の高速化（1反復あたりのソルブ時間を約7.6秒から約0.15秒に短縮）を実現し、大規模な最適化を現実的なものとした。

意義および主張
著者らは、PDE-COがモード切り捨て誤差を排除し、支配的なPDEを通じて物理的一貫性を強制することにより、モード展開に代わる堅牢な選択肢を提供すると主張している。疎なセンサ情報を動的剛性演算を介してドメイン全体に伝播させる能力により、センサから遠い領域においても正確な再構成が可能となる。

決定的な点として、論文は力の識別がPDE-COの特筆すべき利点であることを強調している。モード展開は不安定な逆計算を通じてしか力の推定を行えないが、PDE-COは力を主要な最適化変数として扱い、変位と同時に最適化を行う。この能力は、直接測定が不可能なアクセス困難な表面（例：圧力容器の内壁）を伴う構造ヘルスモニタリングのシナリオにおいて特に重要である。

本研究は、モード展開がセンサ対モード比が良好な厚肉構造に対しては依然として強力なベースラインである一方、PDE-COは、特に薄肉構造や複雑な荷重条件下において、より優れた精度と独自の力局在化能力を提供すると結論付けている。微分可能なシミュレーションとGPU加速への依存は、構造力学におけるリアルタイムの物理ベース・デジタルツインへの実現可能な道筋を示すものである。