Algorithms for hyperelliptic Mumford Curves $p$-adic Uniformization, $p$-adic integrals and $p$-adic heights

技术摘要：超椭圆 Mumford 曲线算法

问题陈述
本文针对 Mumford 曲线缺乏算法工具的问题进行了研究。Mumford 曲线是 $p$ 进 Riemann 曲面的类比，推广了 Tate 对具有分裂乘法还原（split multiplicative reduction）的椭圆曲线的均匀化。虽然 Tate 均匀化在算法上已得到充分理解，但 Mumfred 曲线（亏格 $g \geq 2$ 且具有分裂退化还原）一直缺乏高效的计算方法。这一空白阻碍了其在算术领域的应用，例如计算 $p$ 进阿贝尔积分、$p$ 进高度、同源以及通过 Chabauty 型方法求解有理点。具体而言，现有的用于从曲线方程计算底层 Schottky 群的算法，要么受限于不动点的“强”几何位置（Kadziela 算法），要么依赖于对 theta 函数进行朴素的、指数级时间的近似。

方法论
作者开发了一套适用于定义在 $\mathbb{Q}_p$ 有限扩张上（$p \neq 2$）的超椭圆 Mumford 曲线的算法套件。该方法分为两个主要方向：

1. 从曲线到均匀化（计算 Schottky 群）：

   • Kadziela 算法的扩展： 作者扩展了 Kadziela 的逐位近似法，用于计算 Schottky 群生成元的不动点。他们将不动点的几何约束从“强 Kadziela 位置”放宽到了“弱 Kadielza 位置”，从而使算法能够处理更广泛的曲线类（包括具有特定稳定还原类型的曲线）。
   • Hensel 提升（Hensel Lifting）： 引入了一种利用多元 Hensel 提升的方法，通过分支点来计算不动点。该方法利用雅可比矩阵的粗略近似（仅考虑 theta 函数乘积中长度为 0 和 1 的项）来实现线性收敛。在实践中，这种方法比逐位近似法显著更快。
   • Theta 函数构造： 本文构造了显式的刚性解析均匀化，使用了 Whittaker 群（不连续群的指数为 2 的子群）。文中详细阐述了将 $p$ 进上半平面映射到曲线的 theta 函数 $F$ 和 $H$ 的构造，并提供了曲线方程及点提升的显式公式。

2. 从均匀化到算术应用：

   • 阿贝尔积分： 作者定义了一种计算 Mumford 曲线 Jacobian 上 $p$ 进阿贝尔积分的算法。这依赖于将阿贝尔对数表示为 $p$ 进 theta 函数的形式。一个关键的技术贡献是构造了一个由周期矩阵 $Q_W$ 导出的“朴素” $L$-不变量矩阵，用以修正对数在乘法环 $(K^\times)^g$ 上缺乏周期性的问题。
   • $p$ 进高度： 本文实现了用于计算局部 $p$ 进 Schneider 高度的 Werner 公式。不同于以往需要曲线模型的算法（对于高亏格曲线这非常困难），该算法直接作用于刚性均匀化。它涉及计算加法半周期矩阵并在除子上评估 theta 配对。

核心贡献

• 广义 Schottky 群计算： 本文提供了首个用于计算处于“弱 Kadziela 位置”的超椭圆 Mumford 曲线 Schottky 群的实用算法，这一条件满足了许多此前无法通过 Kadziela 原有算法测试的曲线。
• 高效的 Hensel 提升： 引入了用于确定不动点的 Hensel 提升技术，提供了一种线性收敛方法，在计算上优于以往的指数级或逐位近似方法。
• 无模型算术（Model-Free Arithmetic）： 用于阿贝尔积分和 Schneider 高度的算法完全基于刚性解析均匀化进行构建。这消除了对寻找曲线全局代数模型的依赖，对于具有坏还原或高亏格的曲线而言，这是一个显著的优势。
• 实现： 所有算法均在 SageMath 中实现，并利用了现有的 $p$ 进 theta 函数包（Masdeu-Xarles）和局部高度计算包（Magma）。

结果
作者通过若干数值示例验证了其算法：

• 前人工作验证： 他们成功地重新计算了 Kadziela 论文中的 6 条亏格为 2 的曲线的 Schottky 群和周期矩阵，这些曲线由于不动点不在强位置，此前无法通过其原始算法计算。
• 一致性检查： 对于定义在 $\mathbb{Q}_5$ 上的亏格为 2 的曲线，他们验证了阿贝尔积分在挠点处消失（正如理论所预测），并将结果与 Katz 和 Kaya 的现有算法进行了对比。
• Schneider 高度： 他们计算了亏格为 2 和 3 的曲线（包括模曲线 $X_0(39)$）的局部和全局 Schneider 高度。在 $X_0(39)$ 的案例中，他们验证了高度配对在挠除子处消失，证明了实现的正确性。
• 正则量计算： 本文成功计算了一个亏格为 2 的模阿贝尔簇的 Schneider 正则量，证实了高度配对的二次性。

意义与主张
本文声称在“使 Mumford 曲线在算法上更加易于获取方面迈出了重要一步”。其主要意义在于弥合了 $p$ 进均匀化理论与实际算术几何之间的鸿沟。通过提供关于阿贝尔积分和 $p$ 进高度的无模型算法，作者使得 Chabauty–Coleman 和 Chabauty–Kim 方法能够应用于 Mumford 曲线，而无需显式的代数模型。作者明确指出，这些工具对于经常表现出分裂退化还原的模曲线和 Shimura 曲线特别相关。他们还指出，这些算法有可能为高维 $p$ 进类比的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想提供数值证据。这项工作被视为基础性的一步，作者同时指出，向超椭圆曲线的推广是预期的，但在本文中尚未得到充分发展。