Algorithms for hyperelliptic Mumford Curves $p$-adic Uniformization, $p$-adic integrals and $p$-adic heights

Technische Samenvatting: Algoritmen voor Hyperelliptische Mumford-curves

Probleemstelling
Het artikel behandelt het gebrek aan algoritmische instrumenten voor Mumford-curves, die $p$-adische analogen zijn van Riemann-oppervlakken die de Tate-uniformisatie van elliptische curves met gesplitte multiplicatieve reductie generaliseren. Hoewel Tate-uniformisatie algoritmisch goed begrepen is, hebben Mumford-curves (genus $g \geq 2$ met gesplitte degeneratieve reductie) een gebrek aan efficiënte computationele methoden gekend. Dit gat belemmert arithmetische toepassingen zoals het berekenen van $p$-adische Abelse integralen, $p$-adische hoogtes, isogenieën en rationale punten via Chabauty-type methoden. Specifiek waren bestaande algoritmen voor het berekenen van de onderliggende Schottky-groep vanuit een krommevergelijking ofwel beperkt tot "sterke" geometrische posities van vaste punten (Kadziela's algoritme), of vertrouwden ze op naïeve, exponentieel-tijd benaderingen van thetafuncties.

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een reeks algoritmen voor hyperelliptische Mumford-curves gedefinieerd over eindige uitbreidingen van $\mathbb{Q}_p$ ($p \neq 2$). De methodologie is verdeeld in twee hoofdrichtingen:

1. Van Kromme naar Uniformisatie (Berekenen van de Schottky-groep):

   • Uitbreiding van Kadziela's Algoritme: De auteurs breiden Kadziela's cijfer-voor-cijfer benaderingsmethode voor het berekenen van de vaste punten van de Schottky-groepgeneratoren uit. Ze versoepelen de geometrische restricties op de vaste punten van "sterke Kadziela-positie" naar "zwakke Kadziela-positie", waardoor het algoritme een bredere klasse van krommen kan afhandelen (inclusief die met specifieke stabiele reductietypes).
   • Hensel-lifting: Een nieuwe methode wordt geïntroduceerd met behulp van multivariate Hensel-lifting om de vaste punten te berekenen vanuit de vertakkingspunten van de hyperelliptische cover. Deze aanpak maakt gebruik van een grove benadering van de Jacobiaanmatrix (waarbij alleen woorden van lengte 0 en 1 in de theta-functieproduct worden beschouwd) om een lineaire convergentie te bereiken. Deze methode is in de praktijk aanzienlijk sneller dan de cijfer-voor-cijfer benadering.
   • Constructie van Thetafuncties: Het artikel construeert expliciete rigide analytische uniformisaties met behulp van Whittaker-groepen (index 2 subgroepen van discontinue groepen). Het beschrijft de constructie van thetafuncties $F$ en $H$ die de $p$-adische bovenhelft van het vlak naar de kromme mappen, waarbij expliciete formules voor de krommevergelijking en de lifting van punten worden gegeven.

2. Van Uniformisatie naar Arithmetische Toepassingen:

   • Abelse Integratie: De auteurs definiëren een algoritme om $p$-adische Abelse integralen op de Jacobiaan van een Mumford-curve te berekenen. Dit berust op het uitdrukken van het abelse logaritme in termen van $p$-adische thetafuncties. Een cruciaal technisch bijdrage is de constructie van een "naïeve" $L$-invariant matrix afgeleid van de periode-matrix $Q_W$ om te corrigeren voor het gebrek aan periodiciteit in het logaritme op de multiplicatieve torus $(K^\times)^g$.
   • $p$-adische Hoogtes: Het artikel implementeert de formule van Werner voor het berekenen van lokale $p$-adische Schneider-hoogtes. In tegenclus van eerdere methoden die een model van de kromme vereisen (wat moeilijk is voor hoge genus), werkt dit algoritme direct op de rigide uniformisatie. Het omvat het berekenen van een additieve halve-periode matrix en het evalueren van theta-koppelingen op divisors.

Belangrijkste Bijdragen

• Gegeneraliseerde Schottky-groep Berekening: Het artikel biedt de eerste praktische algoritmen voor het berekenen van de Schottky-groep voor hyperelliptische Mumford-curves waarbij de vaste punten in een "zwakke Kadziela-positie" staan, een conditie die door veel krommen die voorheen faalden voor zijn oorspronkelijke algoritme, wordt voldaan.
• Efficiënte Hensel-lifting: De introductie van een Hensel-lifting techniek voor het bepalen van vaste punten biedt een lineaire convergentiemethode die computationeel superieur is aan eerdere exponentiële of cijfer-voor-cijfer benaderingen.
• Model-vrije Arithmetiek: De algoritmen voor Abelse integralen en Schneider-hoogtes zijn volledig geformuleerd in termen van de rigide analytische uniformisatie. Dit verwijdert de afhankelijkheid van het vinden van een globaal algebraïsch model van de kromme, een significant voordeel voor krommen met slechte reductie of een hoge genus.
• Implementatie: Alle algoritmen zijn geïmplementeerd in SageMath, waarbij gebruik wordt gemaakt van bestaande pakketten voor $p$-adische thetafuncties (Masdeu-Xarles) en lokale hoogteberekeningen (Magma).

Resultaten
De auteurs valideren hun algoritmen via verschillende numerieke voorbeelden:

• Verificatie van Voorgaand Werk: Ze hebben succesvol de Schottky-groepen en periode-matrices voor zes genus 2 krommen uit Kadziela's thesis opnieuw berekend, die voorheen onberekenbaar waren door zijn oorspronkelijke algoritme omdat de vaste punten niet in sterke positie waren.
• Consistentiecontroles: Voor een genus 2 kromme over $\mathbb{Q}_5$ hebben ze geverifieerd dat Abelse integralen verdwijnen voor torsiepunten (zoals voorspeld door de theorie) en hebben ze hun resultaten gecontroleerd tegen bestaande algoritmen van Katz en Kaya.
• Schneider-hoogtes: Ze hebben lokale en globale Schneider-hoogtes berekend voor genus 2 en genus 3 krommen (inclusclusief de modulaire kromme $X_0(39)$). In het geval van $X_0(39)$ hebben ze geverifieerd dat de hoogte-koppeling verdwijnt voor een torsie-divisor, wat de correctheid van de implementatie aantoont.
• Regulatorberekening: Het artikel heeft succesvol de Schneider-regulator berekend voor een genus 2 modulaire abelse variëteit, waarmee de kwadratische aard van de hoogte-koppeling is bevestigd.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert een "belangrijke stap te hebben gezet naar het algoritmisch toegankelijker maken van Mumford-curves." De primaire betekenis ligt in het overbruggen van de kloof tussen de theoretische theorie van $p$-adische uniformisatie en praktische arithmetische meetkunde. Door model-vrije algoritmen voor Abelse integralen en $p$-adische hoogtes te bieden, maken de auteurs de toepassing van Chabauty–Coleman en Chabauty–Kim methoden op Mumford-curves mogelijk zonder de noodzaak van expliciete algebraïsche modellen. De auteurs stellen expliciet dat deze instrumenten bijzonder relevant zijn voor modulaire krommen en Shimura-krommen, die vaak een gesplitte degeneratieve reductie vertonen. Ze merken ook op dat deze algoritmen potentieel kunnen dienen voor het leveren van numeriek bewijs voor hogere-dimensionale $p$-adische analogen van de Birch en Swinnerton-Dyer conjectuur. Het werk wordt gepresenteerd als een fundamentele stap, waarbij de auteurs opmerken dat generalisaties naar superelliptische krommen worden verwacht maar nog niet volledig ontwikkeld zijn in deze tekst.