Algorithms for hyperelliptic Mumford Curves $p$-adic Uniformization, $p$-adic integrals and $p$-adic heights

Resumo Técnico: Algoritmos para Curvas de Mumford Hiperelípticas

Enunciado do Problema
O artigo aborda a escassez de ferramentas algorítmicas para curvas de Mumford, que são análogos $p$-ádicos de superfícies de Riemann que generalizam a uniformização de Tate para curvas elípticas com redução multiplicativa dividida. Embora a uniformização de Tate seja algoritmicamente bem compreendida, as curvas de Mumford (gênero $g \geq 2$ com redução degenerada dividida) careciam de métodos computacionais eficientes. Essa lacuna dificulta aplicações aritméticas, tais como o cálculo de integrais abelianas $p$-ádicas, alturas $p$-ádicas, isogenias e pontos racionais via métodos do tipo Chabauty. Especificamente, os algoritmos existentes para computar o grupo de Schottky subjacente a partir de uma equação de curva estavam ou restritos a posições geométricas "fortes" de pontos fixos (algoritmo de Kadziela) ou dependiam de aproximações ingênuas de tempo exponencial de funções theta.

Metodologia
Os autores desenvolvem um conjunto de algoritmos para curvas de Mumford hiperelípticas definidas sobre extensões finitas de $\mathbb{Q}_p$ ($p \neq 2$). A metodologia é dividida em duas direções principais:

1. Da Curva para a Uniformização (Computação do Grupo de Schottky):

   • Extensão do Algoritmo de Kadziela: Os autores estendem o método de aproximação dígito a dígito de Kadziela para computar os pontos fixos dos geradores do grupo de Schottky. Eles relaxam as restrições geométricas sobre os pontos fixos da "posição forte de Kadziela" para a "posição fraca de Kadziela", permitindo que o algoritmo lide com uma classe mais ampla de curvas (incluindo aquelas com tipos específicos de redução estável).
   • Levantamento de Hensel (Hensel Lifting): Um novo método é introduzido usando levantamento de Hensel multivariado para computar os pontos fixos a partir dos pontos de ramificação da cobertura hiperelíptica. Esta abordagem utiliza uma aproximação grosseira da matriz Jacobiana (considerando apenas palavras de comprimento 0 e 1 no produto da função theta) para alcançar convergência linear. Este método é significativamente mais rápido na prática do que a abordagem dígito a dígito.
   • Construção da Função Theta: O artigo constrói uniformizações analíticas rígidas explícitas usando grupos de Whittaker (subgrupos de índice 2 de grupos descontínuos). Detalha a construção das funções theta $F$ e $H$ que mapeiam o plano superior $p$-ádico para a curva, fornecendo fórmulas explícitas para a equação da curva e o levantamento de pontos.

2. Da Uniformização para Aplicações Aritméticas:

   • Integração Abeliana: Os autores definem um algoritmo para computar integrais abelianas $p$-ádicas no jacobiano de uma curva de Mumford. Isso se baseia na expressão do logaritmo abeliano em termos de funções theta $p$-ádicas. Uma contribuição técnica fundamental é a construção de uma matriz $L$-invariante "ingênua" derivada da matriz de período $Q_W$ para corrigir a falta de periodicidade no logaritmo no toro multiplicativo $(K^\times)^g$.
   • Alturas $p$-ádicas: O artigo implementa a fórmula de Werner para computar alturas locais de Schneider $p$-ádicas. Diferente de métodos anteriores que exigem um modelo da curva (o que é difícil para gêneros altos), este algoritmo opera diretamente na uniformização rígida. Envolve o cálculo de uma matriz de meio-período aditiva e a avaliação de emparelhamentos theta em divisores.

Principais Contribuições

• Computação Generalizada do Grupo de Schottky: O artigo fornece os primeiros algoritmos práticos para computar o grupo de Schottky para curvas de Mumford hiperelípticas onde os pontos fixos estão em "posição fraca de Kadziela", uma condição satisfeita por muitas curvas que falharam em testes anteriores.
• Levantamento de Hensel Eficiente: A introdução de uma técnica de levantamento de Hensel para determinar pontos fixos oferece um método de convergência linear que é computacionalmente superior às abordagens anteriores de tempo exponencial ou dígito a dígito.
• Aritmética Sem Dependência de Modelo (Model-Free): Os algoritmos para integrais abelianas e alturas de Schneider são formulados inteiramente em termos da uniformização analítica rígida. Isso remove a dependência de encontrar um modelo algébrico global da curva, uma vantagem significativa para curvas com má redução ou gênero alto.
• Implementação: Todos os algoritmos são implementados em SageMath, aproveitando pacotes existentes para funções theta $p$-ádicas (Masdeu-Xarles) e computações de altura local (Magma).

Resultos
Os autores validam seus algoritmos através de vários exemplos numéricos:

• Verificação de Trabalho Anterior: Eles recomputaram com sucesso os grupos de Schottky e as matrizes de período para seis curvas de gênero 2 da tese de Kadziela, que eram anteriormente incomputáveis pelo algoritmo original de Kadziela devido aos pontos fixos não estarem em posição forte.
• Verificações de Consistência: Para uma curva de gênero 2 sobre $\mathbb{Q}_5$, eles verificaram que integrais abelianas se anulam para pontos de torção (como previsto pela teoria) e confirmaram seus resultados contra algoritmos existentes de Katz e Kaya.
• Alturas de Schneider: Eles computaram alturas de Schneider locais e globais para curvas de gênero 2 e 3 (incluindo a curva modular $X_0(39)$). No caso de $X_0(39)$, eles verificaram que o emparelhamento de altura se anula para um divisor de torção, demonstrando a correção da implementação.
• Computação do Regulador: O artigo computou com sucesso o regulador de Schneider para uma variedade abeliana modular de gênero 2, confirmando a quadraticidade do emparelhamento de altura.

Significância e Alegações
O artigo afirma dar um "passo importante para tornar as curvas de Mumford mais acessíveis algoritmicamente". Sua principal significância reside em preencher a lacuna entre a teoria teórica da uniformização $p$-ádica e a geometria aritmética prática. Ao fornecer algoritmos sem dependência de modelo para integrais abelianas e alturas de Schneider, os autores permitem a aplicação dos métodos de Chabauty–Coleman e Chabauty–Kim para curvas de Mumford sem a necessidade de modelos algébricos explícitos. Os autores afirmam explicitamente que essas ferramentas são particularmente relevantes para curvas modulares e curvas de Shimura, que frequentemente exibem redução degenerada dividida. Eles também observam o potencial desses algoritmos para fornecer evidências numéricas para análogos de dimensões superiores da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer $p-ádica$. O trabalho é apresentado como um passo fundamental, com os autores observando que generalizações para curvas superelípticas são esperadas, mas ainda não totalmente desenvolvidas neste texto.