Cartan's and Gauss's equations and rigidity theorems for isometric embeddings in low Sobolev regularity

技术摘要：低 Sobolev 正则性下等距嵌入的 Cartan 方程与 Gauss 方程及刚性定理

问题陈述
本文探讨了在低正则性条件下，等距嵌入面到 $\mathbb{R}^3$ 时，基本几何方程（特别是 Cartan 结构方程和 Gauss 方程）的有效性。在经典的平滑设定中，内在几何（曲率）与外在几何（嵌入）之间的关系受 Cartan 结构方程和 Gauss 方程支配。然而，对于正则性低于 $C^2$ 的嵌入，Hessian 行列式和联络 1-形式在经典意义下可能无法定义。作者研究了这些方程在分布意义下对于低 Sobolev 正则性嵌入是否成立，并特别确定了为避免“缺陷测度”（违反方程的奇异性）所需的最小正则性阈值。

方法论
作者结合了分布分析、分数阶 Sobolev 空间理论和几何测度论。

1. Cartan 方程的分布框架：

   • 作者利用正则性为 $C^0 \cap H^{1/2}$ 的标架 $\{\eta_i\}$ 定义联络 1-形式 $\omega = \iota_{e_2}d\eta_1 - \iota_{e_1}d\eta_2$。
   • 他们利用连续 $S^1$ 值映射的提升性质（具体而言是 $H^{1/2} \cap C^0$ 映射），通过旋转角 $\theta \in H^{1/2} \cap C^0$ 将粗糙的正交标架与平滑的参考标架联系起来。
   • 通过用平滑标架近似粗糙标架并取极限，他们证明了只要正则性至少为 $C^0 \cap H^{1/2}$，结构方程在分布意义下即成立。该阈值被认为是最优的，并引用了正则性较低（例如 $p < 2$ 时的 $W^{1,p}$）导致缺陷测度产生的反例。

2. Gauss 方程的推导：

   • 文章建立了 Cartan 第二结构方程（$d\omega = K_g d\text{vol}_g$）与图形表示 $u = (\Psi, f)$ 的 Gauss 方程之间的联系。
   • 一个关键的技术步骤是证明分布 Jacobian 行列式的链式法则。对于属于 $C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ 的嵌入，作者使用了标准的近似和链式法则论证。
   • 对于更微妙的 $c^{1, 1/2} \cap BV^2$ 情况，他们针对属于小 Hölder 空间和有界变差空间的函数，开发了一种特定的 Jacobian 行列式链式法则。这依赖于对经过平滑处理的导数的抵消估计，以及 Jacobian 行列式作为分布的特定结构。

3. 可移除奇异性：

   • 作者分析了 Gauss 方程在奇异集附近的行为。他们证明了如果一个嵌入在零 $(s_0, p_0)$-容量的集合之外具有足够的正则性，则 Gauss 方程在全球范围内成立。

4. 刚性与凸性：

   • 应用已建立的 Gauss 方程，作者改编了 Conti–De Lellis–Székelyhidi 和 Pakzad 的论证方法。他们利用 Pogorelov 关于具有有界外在曲率表面的理论，推导出对于非负高斯曲率（$K_g \ge 0$）的嵌入的凸性和刚性结果。

主要贡献与结果

• 定理 1.1 (Cartan 方程)： 作者证明了对于 $C^0 \cap H^{1/2}_{loc}$ 正交共标架，Cartan 结构方程在分布意义下成立。这扩展了之前的研究结果（如 Giron [35] 对 $W^{1,p}$ 的研究），并确定了 $H^{1/2}$ 是存在唯一满足方程的分布联络 1-形式的关键阈值。
• 定理 1.3 (Gauss 方程)： 本文确立了对于具有以下正则性的等距嵌入 $u$ 的 Gauss 方程 $\det D^2 f = K_g(1+|Df|^2)^2$ 的有效性：
  • $u \in c^{1, 1/2}_{loc} \cap BV^2_{loc}$，或
  • $u \in C^1 \cap W^{1+2/3, 3}_{loc}$。
    在上述两种情况下，该方程在分布意义下均成立。
• 推论 1.4： 对于 $c^{1, 1/2} \cap BV^2$ 类嵌入，Gauss 方程对于勒贝格测度几乎处处成立，从而将 Hessian 测度的绝对连续部分与曲率联系起来。
• 定理 1.5 (可移除奇异性)： 如果嵌入在零 $(s_0, p_0)$-容量的紧集 $S$ 之外是正则的（$W^{1+2/3, 3}$），则 Gauss 方程全局成立，其中 $s_0 = 2(1-s)$ 且 $p_0 = p/(p-2)$。
• 定理 1.6 (闭曲面的刚性)： 任何具有 $K_g \ge 0$ 的光滑球面 $C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ 等距嵌入都是闭凸曲面。若 $K_g > 0$，则该嵌入是平滑的（$C^\infty$）。这将其对 Borisov 和 Pakzad 刚性定理的适用范围扩展到了更低的正则性。
• 定理 1.7 (凸帽的刚性)： 在平面边界条件下，针对凸帽（带边界的区域）证明了类似的刚性和正则性结果，扩展了 Han 和 Hong 的平滑结果。

意义与主张

本文声称提供了将 Cartan 结构方程扩展到 $C^0 \cap H^{1/2}$ 范畴的首次严谨研究，这一阈值被认为是相关 Jacobian 问题中的最优阈值。通过建立低正则性类（$C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ 和 $c^{1, 1/2} \cap BV^2$）下 Gauss 方程的有效性，作者弥合了平滑理论与 Nash-Kuiper 定理所研究的高度不规则设定之间的鸿沟。

其重要性在于能够将经典的刚性定理（Cohn-Vossen, Borisov）应用于比此前证明的正则性更低的嵌入。作者明确指出，其方法不同于以往的工作（如 Pakzad [53]），其方法是将 Gauss 方程作为 Cartan 方程的推论来推导，而非假设其成立或使用不同的近似方案。作者谦虚地表示，虽然他们已经确定了特定的正则性阈值（$s=2/3, p=3$），但对于所有 $C^1$ 等距浸入在 $W^{1+s, p}$ 中的 Gauss 方程有效性的精确边界，在某些参数范围（例如 $s=2/3, p \neq 3$）内仍是一个开放性问题。这项工作并非提出新的实验应用，而是巩固了研究低正则性等距嵌入的理论基础。