Cartan's and Gauss's equations and rigidity theorems for isometric embeddings in low Sobolev regularity

Résumé technique : Équations de Cartan et de Gauss et théorèmes de rigidité pour les plongements isométriques à faible régularité de Sobolev

Énoncé du problème
L'article traite de la validité des équations géométriques fondamentales — spécifiquement les équations structurelles de Cartan et l'équation de Gauss — pour les plongements de surfaces dans $\mathbb{R}^3$ lorsque la régularité de l'application de plongement est faible. Dans le cadre classique lisse, la relation entre la géométrie intrinsèque (courbure) et la géométrie extrinsèque (plongement) est régie par les équations structurelles de Cartan et l'équation de Gauss. Cependant, pour des plongements d'une régularité inférieure à $C^2$, le déterminant de la Hessienne et les formes 1 de connexion peuvent ne pas être bien définis au sens classique. Les auteurs étudient si ces équations sont vérifiées au sens des distributions pour des plongements ayant une faible régularité de Sobolev, en identifiant spécifiquement les seuils de régularité minimaux requis pour éviter les « mesures de défaut » (singularités qui violent les équations).

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'analyse distributionnelle, de théorie des espaces de Sobolev fractionnaires et de géométrie mesureuse.

1. Cadre distributionnel pour les équations de Cartan :

   • Les auteurs définissent la forme 1 de connexion $\omega$ pour une coforme $\{\eta_i\}$ de régularité $C^0 \cap H^{1/2}$ en utilisant la formule du produit intérieur $\omega = \iota_{e_2}d\eta_1 - \iota_{e_1}d\eta_2$.
   • Ils utilisent la propriété de relèvement des applications continues à valeurs dans $S^1$ (spécifiquement, des applications dans $H^{1/2} \cap C^0$) pour relier un repère orthonormé rugueux à un repère de référence lisse via un angle de rotation $\theta \in H^{1/2} \cap C^0$.
   • En approximant le repère rugueux par des repères lisses et en passant à la limite, ils prouvent que les équations structurelles sont vérifiées au sens des distributions, à condition que la régularité soit au moins $C^0 \cap H^{1/2}$. Ce seuil est noté comme optimal, en se référant à des contre-exemples de régularité inférieure (par exemple, $W^{1,p}$ pour $p<2$) où des mesures de défaut apparaissent.

2. Dérivation de l'équation de Gauss :

   • L'article établit un lien entre l'équation structurelle seconde de Cartan ($d\omega = K_g d\text{vol}_g$) et l'équation de Gauss pour les représentations graphiques $u = (\Psi, f)$.
   • Une étape technique clé consiste à prouver une règle de la chaîne pour le déterminant jacobien distributionnel. Pour les plongements dans $C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$, les auteurs utilisent des arguments d'approximation standard et la règle de la chaîne.
   • Pour le cas plus délicat de $c^{1, 1/2} \cap BV^2$, ils développent une règle de la chaîne spécifique pour le déterminant jacobien impliquant des fonctions dans les petits espaces de Hölder et de variation bornée. Cela repose sur des estimations de compensation pour les dérivées mollifiées et la structure spécifique du déterminant jacobien en tant que distribution.

3. Singularités éliminables :

   • Les auteurs analysent le comportement de l'équation de Gauss au voisinage des ensembles singuliers. Ils prouvent que si un plongement est suffisamment régulier en dehors d'un ensemble de capacité $(s_0, p_0)$ nulle, alors l'équation de Gauss est vérifiée globalement.

4. Rigidité et convexité :

   • En appliquant l'équation de Gauss établie, les auteurs adaptent les arguments de Conti–De Lellis–Székelyhidi et Pakzad. Ils utilisent la théorie de Pogorelov sur les surfaces de courbure extrinsèque bornée pour déduire la convexité et les résultats de rigidité pour des plongements ayant une courbure gaussienne non négative ($K_g \ge 0$).

Contributions clés et résultats

• Théorème 1.1 (Équations de Cartan) : Les auteurs prouvent que les équations structurelles de Cartan sont vérifiées au sens des distributions pour des coformes orthonormées en $C^0 \cap H^{1/2}_{loc}$. Cela étend les résultats précédents (par exemple, Giron [35] pour $W^{1,p}$) et identifie $H^{1/2}$ comme le seuil critique pour l'existence d'une forme 1 de connexion distributionnelle unique satisfaisant les équations.
• Théorème 1.3 (Équation de Gauss) : L'article établit la validité de l'équation de Gauss $\det D^2 f = K_g(1+|Df|^2)^2$ pour des plongements isométriques $u$ avec la régularité :
  • $u \in c^{1, 1/2}_{loc} \cap BV^2_{loc}$, ou
  • $u \in C^1 \cap W^{1+2/3, 3}_{loc}$.
    Dans les deux cas, l'équation est vérifiée au sens des distributions.
• Corollaire 1.4 : Pour les plongements de la classe $c^{1, 1/2} \cap BV^2$, l'équation de Gauss est vérifiée presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue, reliant la partie absolument continue de la mesure de Hessienne à la courbure.
• Théorème 1.5 (Singularités éliminables) : L'équation de Gauss est vérifiée globalement si le plongement est régulier ($W^{1+2/3, 3}$) en dehors d'un ensemble compact $S$ de capacité $(s_0, p_0)$ nulle, où $s_0 = 2(1-s)$ et $p_0 = p/(p-2)$.
• Théorème 1.6 (Rigidité des surfaces fermées) : Tout plongement isométrique $C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ d'une sphère lisse avec $K_g \ge 0$ est une surface convexe fermée. Si $K_g > 0$, le plongement est lisse ($C^\infty$). Cela étend les théorèmes de rigidité de Borisov et Pakzad à une régularité moindre.
• Théorème 1.7 (Rigidité des calottes convexes) : Des résultats de rigidité et de régularité similaires sont prouvés pour les calottes convexes (domaines avec bord) sous des conditions de bord planaires, étendant les résultats lisses de Han et Hong.

Signification et revendications
L'article prétend fournir la première extension rigoureuse des équations structurelles de Cartan au régime $C^0 \cap H^{1/2}$, un seuil connu pour être optimal pour les problèmes de Jacobien connexes. En établissant la validité de l'équation de Gauss pour des classes de faible régularité ($C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ et $c^{1, 1/2} \cap BV^2$), les auteurs comblent un fossé entre la théorie lisse et les contextes hautement irréguliers étudiés dans le théorème de Nash-Kuiper.

La signification réside dans la possibilité d'appliquer les théorèmes de rigidité classiques (Cohn-Vossen, Borisov) à des plongements d'une régularité moindre que ce qui avait été prouvé précédemment. Les auteurs notent explicitement que leur méthode diffère des travaux antérieurs (par exemple, Pakzad [53]) en dérivant l'équation de Gauss comme une conséquence des équations de Cartan plutôt qu'en supposant l'équation ou en utilisant des schémas d'approximation différents. Ils déclarent modestement que, bien qu'ils aient identifié des seuils de régularité spécifiques ($s=2/3, p=3$), la frontière précise de la validité de l'équation de Gauss pour tous les plongements isométriques $C^1$ dans $W^{1+s, p}$ reste une question ouverte pour certains intervalles de paramètres (par exemple, $s=2/3, p \neq 3$). Le travail ne propose pas de nouvelles applications expérimentales mais consolide le fondement théorique de l'étude des plongements isométriques en faible régularité.