Cartan's and Gauss's equations and rigidity theorems for isometric embeddings in low Sobolev regularity

技術要約：低ソボレフ正則性における等長埋め込みに関するカルタンおよびガウスの方程式と剛性定理

問題設定
本論文は、低次なソボレフ正則性を持つ埋め込みに対して、基本的な幾何学的方程式（具体的にはカルタンの構造方程式およびガウスの方程式）が成立するかどうかを扱う。古典的な滑らかな設定において、内的な幾何学（曲率）と外的な幾何学（埋め込み）の関係は、カルタンの構造方程式およびガウスの方程式によって支配されている。しかし、$C^2$ 未満の正則性を持つ埋め込みの場合、ヘッセ行列式や接続1形式が古典的な意味では定義できない可能性がある。著者らは、埋め込みの正則性が低い場合に、これらの方程式が分布の意味で成立するかどうかを調査し、特に「欠損測度」（方程式を破る特異性）を回避するために必要な最小限の正則性の閾値を特定している。

手法
著者らは、分布解析、分数ソボレフ空間論、および幾何学的測度論を組み合わせた手法を用いている。

1. カルタンの方程式の分布的枠組み:

   • 著者らは、正則性が $C^0 \cap H^{1/2}$ である共フレーム $\{\eta_i\}$ に対して、内積公式 $\omega = \iota_{e_2}d\eta_1 - \iota_{e_1}d\eta_2$ を用いて接続1形式 $\omega$ を定義する。
   • 粗い正規直交フレームを、回転角 $\theta \in H^{1/2} \cap C^0$ を通じて滑らかな参照フレームに関連付けるために、$C^0 \cap H^{1/2}$ 値写像（具体的には $H^{1/2} \cap C^0$ の写像）のリフティング特性を利用する。
   • 粗いフレームを滑らかなフレームで近似し、極限を取ることで、正則性が少なくとも $C^0 \cap H^{1/2}$ であれば、構造方程式が分布の意味で成立することを証明する。この閾値は、欠損測度が生じる低次の正則性（例：$p < 2$ の場合の $W^{1,p}$）における反例を引用し、最適であるとされている。

2. ガウスの方程式の導出:

   • 著者らは、カルタンの第2構造方程式 ($d\omega = K_g d\text{vol}_g$) と、グラフ表現 $u = (\Psi, f)$ に対するガウスの方程式との間の関連性を確立する。
   • 重要な技術的ステップとして、分布的ヤコビ行列式に対する連鎖律の証明が含まれる。$C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ の埋め込みについては、標準的な近似と連鎖律の議論を用いる。
   • より繊細な $c^{1, 1/2} \cap BV^2$ のケースについては、リトル・ヘルダー空間と有界変動（BV）を用いるヤコビ行列式に関する特定の連鎖律を開発した。これは、モルファ（平滑化）された微分のキャンセル推定値と、分布としてのヤコビ行列式の特定の構造に基づいている。

3. 除去可能な特異性:

   • 著者らは、特異集合の近傍におけるガウスの方程式の挙動を分析する。埋め込みがゼロの $(s_0, p_0)$-容量を持つ集合の外部で十分に正則であれば、ガウスの方程式が全域で成立することを証明する。

4. 剛性と凸性:

   • 確立されたガウスの方程式を適用し、Conti–De Lellis–Székelyhidi および Pakzad の議論を応用する。彼らは、外的な曲率が有界な曲面に関する Pogorelov の理論を用いて、非負のガウス曲率 ($K_g \ge 0$) を持つ埋め込みの凸性と剛性を導き出す。

主要な貢献と結果

• 定理 1.1 (カルタンの方程式): 著者らは、正規直交共フレームが $C^0 \cap H^{1/2}_{loc}$ であるとき、カルタンの構造方程式が分布の意味で成立することを証明する。これは従来の成果（例：Giron [35] による $W^{1,p}$ の研究）を拡張し、$H^{1/2}$ が一意な分布的接続1形式を満たすための臨界閾値であることを特定している。
• 定理 1.3 (ガウスの方程式): 本論文は、以下の正則性を持つ等長埋め込み $u$ に対して、ガウスの方程式 $\det D^2 f = K_g(1+|Df|^2)^2$ の妥当性を確立する：
  • $u \in c^{1, 1/2}_{loc} \cap BV^2_{loc}$, または
  • $u \in C^1 \cap W^{1+2/3, 3}_{loc}$。
    いずれの場合も、方程式は分布の意味で成立する。
• 系 1.4: $c^{1, 1/2} \cap BV^2$ クラスの埋め込みについて、ガウスの方程式はルベーグ測度に関してほとんど至る所で成立し、ヘッセ行列測度の絶対連続部分と曲率を関連付ける。
• 定理 1.5 (除去可能な特異性): ガウスの方程式は、埋め込みがコンパクト集合 $S$（ここで $s_0 = 2(1-s), p_0 = p/(p-2)$）のゼロ $(s_0, p_0)$-容量の外部で正則（$W^{1+2/3, 3}$）である場合、全域で成立する。
• 定理 1.6 (閉曲面の剛性): 滑らかな球面に対する $C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ の等長埋め込みは、閉凸曲面である。$K_g > 0$ であれば、その埋め込みは滑らか（$C^\infty$）である。これは、Borisov および Pakzad の剛性定理をより低い正則性へと拡張するものである。
• 定理 1.7 (凸キャップの剛性): 平面境界条件の下での凸キャップ（境界を持つ領域）についても、同様の剛性と正則性の結果が証明されており、Han および Hong の滑らかな結果を拡張している。

意義と主張
本論文は、カルタンの構造方程式を $C^0 \cap H^{1/2}$ の領域へと厳密に拡張した最初の研究であると主張しており、この閾値はヤコビアンに関する関連問題において最適であることが知られている。ガウスの方程式が成立する低正則性クラス（$C^1 \cap W^{1+2/3, 3}$ および $c^{1, 1/2} \cap BV^2$）を確立することで、著者らは滑らかな理論と、ナッシュ・クナイパーの定理で研究されている高度に不規則な設定との間の溝を埋めている。

その意義は、これまで証明されていたよりも低い正則性を持つ埋め込みに対して、古典的な剛性定理（Cohn-Vossen, Borisov）を適用可能にすることにある。著者らは、自らの手法が（仮定を用いるか異なる近似スキームを用いるかではなく）カルタンの方程式の結果としてガウスの方程式を導出するという点で、先行研究（例：Pakzad [53]）とは異なることを明示している。また、特定の正則性の閾値（$s=2/3, p=3$）は特定したものの、すべての $C^1$ 等長浸入に対するガウスの方程式の妥当性の正確な境界（例：$s=2/3, p \neq 3$ のパラメータ範囲）は依然として未解決の問題であると控えめに述べている。本研究は新しい実験的応用を提案するものではなく、低正則性における等長埋め込みの研究のための理論的基礎を固めるものである。