On the exterior square $\varepsilon$-factors of $GL_n$

技术摘要：关于 $GL_n$ 外平方 $\varepsilon$-因子的研究

问题陈述
本文解决了对于 $F$ 为 0 特征局部域的情形，针对 $GL_r(F)$ 的生成表示 $\pi$，三种不同的外平方 $L$-因子与 $\varepsilon$-因子定义的相容性问题。这些定义分别源自：

1. 伽罗瓦/算术因子 ($L_G, \varepsilon_G$)：通过局部朗兰兹对应（LLC）定义。
2. Langlands-Shahidi 因子 ($L_{Sh}, \varepsilon_{Sh}$)：通过 Langlands-Shahidi 方法定义。
3. Jacquet-Shalika 因子 ($L_{JS}, \varepsilon_{JS}$)：通过积分表示（Jacquet-Shalika 积分）以及一个局部泛函方程定义。

虽然 $L$-因子的相等性（$L_{JS} = L_{Sh} = L_G$）已在很大程度上得到确立，且 $\varepsilon$-因子的相等性在 Langlands-Shahidi 与伽罗瓦定义之间（以及近期在阿基米德情形下的 Jacquet-Shalika 定义中）已获证，但 $\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$ 在 $p$-进情形下仍是一个悬而未决的问题。作者指出，证明这一相等性比 Rankin-Selberg 或 Asai 因子更为微妙，因为 Jacquet-Shalika 积分的阿基米德理论具有复杂性，且此前缺乏将 $\varepsilon_{JS}$ 表示为诱导数据的公式。

方法论
本文采用全局方法来解决局部相等性问题，遵循了类似于 [BP21] 中处理 Asai $L$-函数的策略。其核心逻辑流程如下：

1. 超尖点表示的全局化：作者利用 Henniart 的定理（定理 6.1），该定理允许将 $GL_r(F)$ 的一个超尖点表示 $\pi$ 嵌入为 $GL_r(\mathbb{A}_k)$ 的一个尖点自守表示 $\Pi$ 在处 $v_0$ 处的局部分量，其中 $\Pi$ 在所有其他有限处均为无亏损（unramified）。
2. 比较全局泛函方程：通过比较 Jacquet-Shalika 积分与 Langlands-Shahidi 方法的全局泛函方程，作者推导出对于超尖点表示，其局部 $\varepsilon$-因子必须一致（命题 6.2）。
3. 密度与连续性论证：为了将结果从超尖点表示扩展到所有生成表示，论文利用 Shin 定理的一个推论（定理 7.1）来证明：任何包含缓性（tempered）表示的 Fell 拓扑中的开邻域，都包含一个可以全局化为具有特定局部性质（超尖点或无亏损）的尖点自守形式的表示。
4. 解析延拓：证明高度依赖于 Jaclet-Shalika 积分及 $\varepsilon$-因子关于诱导表示参数的解析性质。具体而言，利用了：
   • Whittaker 函数的解析截面之存在性（命题 2.1，遵循 [BP21]）。
   • 积分与 $\gamma$-因子在垂直带内的全纯性与有限阶性。
   • 一个技术性引理（[BP21] 中的命题 2.8.1），允许将解析函数从半平面乘积扩展到整个复平面。

主要贡献与结果

• 主定理 (定理 1.1)：对于 $p$-进域 $F$ 及任何生成表示 $\pi \in \text{Irr}_{gen}(G_r)$，Jacquet-Shalika $\varepsilon$-因子与 Langlands-Shahidi $\varepsilon$-因子一致：
  $$\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$$
  结合已有的结果（$\varepsilon_{Sh} = \varepsilon_G$），这确立了所有三种定义之间的完全相等性（定理 1.2）。

• 局部泛函方程的新证明：本文为 $p$-进情形下的 Jacquet-Shalika 积分提供了一个新的局部泛函方程证明（定理 4.7）。不同于 Matringe 以及 Cogdell-Matringe 依赖于离散序列或可全局化表示的以往证明，本证明通过全局化与连续性论证，将泛函方程扩展到了所有生成表示。

• 解析性质：本文确立了对于近缓性（nearly tempered）表示，归一化的 Jacquet-Shalika 积分 ($\Xi$) 是垂直带内的有限阶全纯函数（命题 7.6），这是用于证明主定理的解析延拓论证的必要步骤。

意义
本文声称，这些 $\varepsilon$-因子的相等性对于自守 $L$-函数理论的发展是本质性的，并且是 $GL_r$ 局部朗兰兹猜想的重要组成部分。作者强调，证明外平方因子比 Rankin-Selberg 或 Asai 因子更困难，是因为 Jacquet-Shalika 积分的阿基米德理论此前发展较少，且缺乏将 $\varepsilon_{JS}$ 表示为诱导数据的必要公式。通过建立这一相等性，本文填补了理论空白，确保了通过积分表示定义的 $\varepsilon$-因子与通过 Langlands-Shahidi 方法以及局部朗兰兹对应定义的 $\varepsilon$-因子对于所有生成 $p$-进表示是一致的。