On the exterior square $\varepsilon$-factors of $GL_n$

技術的要約：$GL_n$ の外部平方 $\varepsilon$ 因子について

問題設定
本論文は、標数0の局所体 $F$ における $GL_r(F)$ の生成的表現 $\pi$ に対する、外部平方 $L$ 因子および $\varepsilon$ 因子の3つの異なる定義の整合性を取り扱う。これらの定義は以下から生じる：

1. ガロア／算術的因子 ($\varepsilon_G, L_G$): 局所ラングランズ対応（LLC）を介して定義される。
2. ラングランズ・シャヒディ因子 ($\varepsilon_{Sh}, L_{Sh}$): ラングランズ・シャヒディ法を介して定義される。
3. ジャケ・シャリカ因子 ($\varepsilon_{JS}, L_{JS}$): 積分の表現（ジャケ・シャリカ積分）および局所関数等式を介して定義される。

$L$ 因子の等式（$L_{JS} = L_{Sh} = L_G$）は概ね確立されており、$\varepsilon$ 因子の等式についても、ラングランズ・シャヒディ定義とガロア定義の間では既知であり、最近ではアルキメデス的なジャケ・シャリカの場合も成立しているが、$\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$ という等式は、$p$ 進の場合において未解決の問題として残っていた。著者は、ジャケ・シャリカ積分のアルキメデス的な理論の複雑さと、誘導データを用いて $\varepsilon_{JS}$ を表す先行する公式の欠如により、この等式の証明はランク・セルバーグやアサイ因子の場合はより単純であるのに対し、より困難であると述べている。

手法
本論文は、局所的な等式を解決するために、[BP21] で用いられた戦略と同様の大域的手法を採用している。論理構成の核心は以下の通りである：

1. 超尖頭表現の大域化: 著者は、超尖頭表現 $\pi$ の $GL_r(F)$ の成分として、他の有限次では非分岐である $GL_r(\mathbb{A}_k)$ の尖頭自己的表現 $\Pi$ の局所成分としての埋め込みを可能にするヘニアートの定理（Theorem 6.1）を利用している。
2. 大域的関数等式の比較: ジャケ・シャリカ積分とラングランズ・シャヒディ法による大域的関数等式を比較することにより、超尖頭表現に対して局所 $\varepsilon$ 因子が一致することを導き出す（Proposition 6.2）。
3. 密度および連続性の議論: 超尖頭表現からすべての生成的表現へと結果を拡張するために、本論文は、テンパー表現のフェル位相における開近傍が、特定の局所的性質（超尖頭または非分岐）を持つ尖頭自己的形式に大域化可能な表現を含むことを示す、シン（Shin）の定理（Theorem 7.1）の帰結を利用している。
4. 解析的連続性: 証明は、ジャケ・シャリカ積分および $\varepsilon$ 因子の解析的性質に大きく依存している。具体的には、以下を利用している：
   • ウィーハルト関数の解析的切断の存在（[BP21] に従う Proposition 2.1）。
   • 垂直な帯の中での積分および $\gamma$ 因子の正則性と有限次。
   • 半平面の積から複素平面全体への解析関数の拡張を可能にする技術的補題（[BP21] の Proposition 2.8.1）。

主要な貢献と結果

• 主定理 (Theorem 1.1): $p$ 進体 $F$ および任意の生成的表現 $\pi \in \text{Irr}_{gen}(G_r)$ に対して、ジャケ・シャリカ $\varepsilon$ 因子はラングランズ・シャヒディ $\varepsilon$ 因子と一致する：
  $$\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$$
  既存の結果（$\varepsilon_{Sh} = \varepsilon_G$）と組み合わせることで、これら3つの定義の完全な一致が確立される（Theorem 1.2）。

• 局所関数等式の新しい証明: 本論文は、$p$ 進の場合におけるジャケ・シャリカ積分の局所関数等式の新しい証明を提供する（Theorem 4.7）。マトリンジェやコグデル・マトリンジェによる従来の証明は離散系列や大域化可能な表現に依存していたが、この証明は、大域化と連続性の議論を用いて、すべての生成的表現へと関数等式を拡張するものである。

• 解析的性質: 本論文は、準テンパー表現に対して、正規化されたジャケ・シャリカ積分（$\Xi$）が垂直な帯の中で有限次の整関数であることを確立している（Proposition 7.6）。これは、主定理の証明に使用される解析的連続性の議論において不可欠なステップである。

意義
本論文は、これらの $\varepsilon$ 因子の等式が、自己的 $L$ 関数の理論の発展において本質的であり、$GL_r$ に対する局所ラングランズ予想の必須の構成要素であると主張している。著者は、外部平方因子に関する証明が、ランク・セルバーグやアサイ因子よりも困難である理由として、ジャケ・シャリカ積分のアルキメデス的な理論が以前は十分に発達していなかったこと、および $\varepsilon_{JS}$ を誘導データによって表す必要な公式が利用可能ではなかったことを強調している。この等式を確立することで、本論文は理論の空白を埋め、積分表現を介して定義される $\varepsilon$ 因子が、すべての生成的 $p$ 進表現に対して、ラングランズ・シャヒディ法および局所ラングランズ対応と一致することを保証している。