On the exterior square $\varepsilon$-factors of $GL_n$

Resumen Técnico: Sobre los factores $\varepsilon$ del cuadrado exterior de $GL_n$

Planteamiento del problema
El artículo aborda la consistencia de tres definiciones distintas de los factores $L$ y factores $\varepsilon$ del cuadrado exterior para representaciones genéricas $\pi$ de $GL_r(F)$, donde $F$ es un cuerpo local de característica 0. Estas definiciones surgen de:

1. Factores galoisianos/aritméticos ($L_G, \varepsilon_G$): Definidos vía la Correspondencia de Langlands Local (LLC).
2. Factores de Langlands-Shahidi ($L_{Sh}, \varepsilon_{Sh}$): Definidos mediante el método de Langlands-Shahidi.
3. Factores de Jacquet-Shalika ($L_{JS}, \varepsilon_{JS}$): Definidos vía integrales de representación (integrales de Jacquet-Shalika) y una ecuación funcional local.

Si bien la igualdad de los factores $L$ ($L_{JS} = L_{Sh} = L_G$) se estableció ampliamente, y la igualdad de los factores $\varepsilon$ para las definiciones de Langlands-Shahidi y galoisiana ya era conocida (y recientemente para el caso arquimediano de Jacquet-Shalika), la igualdad $\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$ permanecía como un problema abierto en el caso $p$-ádico. El autor señala que probar esta igualdad es más sutil que para los factores de Rankin-Selberg o Asai debido a la complejidad de la teoría arquimediana de las integrales de Jacquet-Shalika y la falta de una fórmula previa que exprese $\varepsilon_{JS}$ en términos de datos de inducción.

Metodología
El artículo emplea métodos globales para resolver la igualdad local, siguiendo una estrategia similar a la utilizada para las funciones $L$ de Asai en [BP21]. El flujo lógico central es el siguiente:

1. Globalización de representaciones supercuspidales: El autor utiliza un teorema de Henniart (Teorema 6.1) que permite que una representación supercuspidal $\pi$ de $GL_r(F)$ se incruste como el componente local en un lugar $v_0$ de una representación automórfica cuspidal $\Pi$ de $GL_r(\mathbb{A}_k)$, donde $\Pi$ es no ramificada en todos los demás lugares finitos.
2. Comparación de ecuaciones funcionales globales: Al comparar las ecuaciones funcionales globales para las integrales de Jacquet-Shalika y el método de Langlands-Shahidi, el autor deduce que los factores $\varepsilon$ locales deben coincidir para representaciones supercuspidales (Proposición 6.2).
3. Argumentos de densidad y continuidad: Para extender el resultado de las representaciones supercuspidales a todas las representaciones genéricas, el artículo utiliza una consecuencia del teorema de Shin (Teorema 7.1) para mostrar que cualquier vecindad abierta de una representación templada en la topología de Fell contiene una representación que puede ser globalizada a una forma autóforma cuspidal con propiedades locales específicas (supercuspidales o no ramificadas).
4. Continuación analítica: La prueba depende fuertemente de las propiedades analíticas de las integrales de Jacquet-Shalika y de los factores $\varepsilon$ con respecto a los parámetros de las representaciones inducidas. Específicamente, utiliza:
   • La existencia de secciones analíticas de funciones de Whittaker (Proposición 2.1, siguiendo a [BP21]).
   • La holomorfía y el orden finito de las integrales y los factores $\gamma$ en franjas verticales.
   • Un lema técnico (Proposición 2.8.1 de [BP21]) que permite la extensión de funciones analíticas desde productos de semiplanos al plano complejo completo.

Contribuciones y resultados clave

• Teorema principal (Teorema 1.1): Para un cuerpo $p$-ádico $F$ y cualquier representación genérica $\pi \in \text{Irr}_{gen}(G_r)$, el factor $\varepsilon$ de Jacquet-Shalika coincide con el factor $\varepsilon$ de Langlands-Shahidi:
  $$\varepsilon_{JS}(s, \pi, \wedge^2, \psi) = \varepsilon_{Sh}(s, \pi, \wedge^2, \psi)$$
  Combinado con los resultados existentes ($\varepsilon_{Sh} = \varepsilon_G$), esto establece la igualdad total de las tres definiciones (Teorema 1.2).

• Nueva prueba de la ecuación funcional local: El artículo proporciona una nueva prueba de la ecuación funcional local para las integrales de Jacquet-Shalika en el caso $p$-ádico (Teorema 4.7). A diferencia de las pruebas anteriores de Matringe y Cogdell-Matringe que dependían de series discretas o representaciones globalizables, esta prueba extiende la ecuación funcional a todas las representaciones genéricas utilizando argumentos de globalización y continuidad.

• Propiedades analíticas: El artículo establece que las integrales de Jacquet-Shalika normalizadas ($\Xi$) son funciones enteras de orden finito en franjas verticales para representaciones casi templadas (Proposición 7.6), un paso necesario para los argumentos de continuación analítica utilizados para probar el teorema principal.

Significado
El artículo sostiene que la igualdad de estos factores $\varepsilon$ es intrínseca al desarrollo de la teoría de las funciones $L$ automórficas y es un componente requerido para las Conjeturas de Langlands Locales para $GL_r$. El autor enfatiza que la prueba para los factores del cuadrado exterior es más difícil que para los factores de Rankin-Selberg o Asai porque la teoría arquimediana de las integrales de Jacquet-Shalika estaba previamente menos desarrollada, y las fórmulas necesarias que expresan $\varepsilon_{JS}$ en términos de datos de inducción no estaban disponibles. Al establecer esta igualdad, el artículo llena un vacío en la teoría, asegurando que los factores $\varepsilon$ definidos vía integrales de representación sean consistentes con los definidos vía el método de Langlands-Shahidi y la correspondencia de Langlands local para todas las representaciones $p$-ádicas genéricas.