Machine learning prediction of the convergence criterion for a topological invariant of finite non-Hermitian chains

技术摘要：利用机器学习预测有限非厄米链拓扑不变性的收敛判据

问题陈述
在非厄米量子系统中，拓扑特性通常由复能量谱中的点隙（point gaps）来表征，这导致了诸如非厄米皮肤效应（NHSE）等现象，即大量的本征态定域在边界处。虽然动量空间绕数（$w$）定义了平移对称系统的拓扑，但有限开链需要实空间拓扑不变性。极分解实空间不变性（$w_{PD}$）是实现此目的的主要候选方案。然而，$w_{PD}$ 依赖于一个“裁剪长度”（crop-length）参数（$\ell$），该参数通过排除边界区域来定义一个中心体区窗口。为了使 $w_{PD}$ 收敛到精确的动量空间绕数，通常需要经验性地选择 $\ell$ 的值。在拓扑相变附近，由于有限尺寸效应最为显著，这一选择变得至关重要，然而目前仍缺乏一种系统且具有物理依据的方法来确定最优裁剪长度（$\ell^\star$）。

方法论
作者将预测最小所需裁剪长度 $\ell^\star$（定义为使得 $|w_{PD}(\ell) - w| < \epsilon$ 的最小 $\ell$）的过程构造成一个监督学习问题。

• 数据生成： 他们为各种有限非厄米链生成了数据集，包括最近邻（Hatano-Nelson）、纯 $m$ 跳跃以及混合程跳跃模型。样本由系统尺寸（$N$）、跳跃参数和基能（$E_B$）定义。
• 特征工程： 输入特征源自系统的物理属性。关键在于，他们利用了特征多项式 $H(\beta) - E_B = 0$ 的根（$\beta$）。这些根的模决定了本征态的空间衰减长度（$\xi$）。特征包括原始跳跃参数、非互易性度量，以及导出的衰减长度或分组根通道（考虑复共轭对）。
• 模型： 采用了随机森林（RF）模型。分类器用于判断在允许范围内是否存在有效的裁剪，而回归器则用于预测有效样本的 $\ell^\star$ 数值。模型通过 80/20 分割进行训练和测试，并特别注意区分有限尺寸残余类（例如 $N \mod 2m$）以确保泛化能力。
• 验证： 该方法在变化的跳跃范围（$m=1$ 到 $5$）、复基能（$E_B$）以及中度跳跃无序下进行了测试。

关键结果

1. 最近邻与纯 $m$ 跳跃链： 对于 Hatano-Nelson 链（最近邻 $m=1$）或纯 $m$ 跳跃模型，所需的裁剪长度受单一局域化长度标度（$\xi$ 或 $\xi_m$）控制。

   • 随机森林回归器在预测 $\ell^\star$ 方面达到了极高的精度（$R^2 \approx 0.997$）。
   • 特征重要性分析证实，标度变量 $x = N/\xi$ 是主要的预测因子。
   • 在远离相变时，$\ell^\star$ 与局域化长度成线性比例（$\ell^\star \propto \xi$）。在相变附近，有限尺寸修正通过 $x$ 的有理函数被捕捉。
   • 容差依赖关系遵循 $\ell^\star \approx C_\epsilon \xi$，其中 $C_\epsilon$ 随 $\log(1/\epsilon)$ 线性增长，这与指数衰减的边界贡献一致。

2. 混合跳跃模型： 对于具有一阶和二阶混合跳跃的链，谱环是非椭圆形的，且特征方程会产生多个不同的衰减通道。

   • 单一的局域化长度已不足以描述。相反，裁剪长度受控于在复 $\beta$ 平面上最接近单位圆的“分组通道”（即衰减最慢的模式）。
   • 使用分组根通道特征训练的随机森林模型能够成功预测不同绕数扇区（$w = \pm 1, \pm 2$）下的 $\ell^\star$，且 $R^2 > 0.98$。

3. 复基能： 该方法可推广至一般的复基能 $E_B$。

   • 对于纯 $m$ 跳跃模型，根结构保持受限（两类根），预测器通过留一法验证（leave-one-out validation）可以推广到未见的跳跃参数（$R^2 = 0.993$）。
   • 对于具有复 $E_B$ 的混合跳跃模型，预测器需要完整的带符号径向根向量（距离以及相对于单位圆的内外状态），以区分嵌套的拓扑扇区。这种表示法允许在未见的哈密顿量中准确重建 $w_{PD}$ 图谱。

4. 对无序的鲁棒性： 在干净的最近邻链上训练的预测器在中度跳跃无序（$r_W = 0.3$）下仍然有效。

   • 从干净系统预测的 $\ell^\star$ 能在拓扑相内部获得准确的 $w_{PD}$ 值（成功率 $> 0.96$）。
   • 在点隙关闭的相边界附近，性能会有所下降，这与对有限尺寸效应和无序的敏感性增加是一致的。

意义与主张
本文声称为有限非厄米系统中的实空间拓扑不变性提供了一种“实用且具有物理可解释性的选择裁剪长度的方法”。通过证明机器学习可以准确地在不同哈密顿量之间泛化物理衰减长度与所需裁剪长度之间的关系，作者确立了 $w_{PD}$ 的收敛本质上是由与非厄米皮肤效应相关的局域化长度所控制的。

作者强调，其结果允许在无需任意参数调优的情况下，可靠地确定有限系统的拓扑。此外，他们指出，学习到的关系可以被反转，用于从实验或数值数据中估算有效的皮肤效应衰减长度，即使在存在无序的情况下也是如此，只要系统不是太接近相边界。本研究并非提出新的实验平台，而是提供了一个用于解释现有或未来关于非厄米拓扑相数据的计算工具。