Machine learning prediction of the convergence criterion for a topological invariant of finite non-Hermitian chains

Technische Samenvatting: Machine Learning-voorspelling van het Convergentiecriterium voor een Topologische Invariant van Eindige Niet-Hermitische Ketens

Probleemstelling
In niet-hermitische kwantumsystemen wordt topologie vaak gekarakteriseerd door puntgaten in het complexe energiespectrum, wat leidt tot fenomenen zoals het niet-hermitische huid-effect (NHSE), waarbij een groot aantal eigenstanden zich lokaliseert aan de randen. Terwijl windinggetallen in de impulsruimte ($w$) de topologie in translatie-invariante systemen definiëren, vereisen eindige open ketens real-ruimte topologische invarianten. De polarisatie-decompositie real-ruimte invariant ($w_{PD}$) is een primaire kandidaat voor dit doel. De waarde van $w_{PD}$ is echter afhankelijk van een "crop-lengte"-parameter ($\ell$), die een centraal bulkvenster definieert door randgebieden uit te sluiten. De keuze van de waarde van $\ell$ die vereist is voor $w_{PD}$ om te convergeren naar het exacte windinggetal in de impulsruimte, wordt doorgaans empirisch bepaald. Deze keuze wordt cruciaal nabij topologische faseovergangen waar effecten van eindige grootte het sterkst zijn, terwijl een systematische, fysiek onderbouwde methode om de optimale crop-lengte ($\ell^\star$) te bepalen tot nu toe ontbrak.

Methodologie
De auteurs kaderen de voorspelling van de minimale vereiste crop-lengte $\ell^\star$ (gedefinieerd als de kleinste $\ell$ waarvoor $|w_{PD}(\ell) - w| < \epsilon$) als een supervised machine learning-probleem.

• Datageneratie: Ze genereren datasets voor diverse eindige niet-hermitische ketens, inclusincluding nearest-neighbor (Hatano-Nelson), pure $m$-hop, en mixed-range hopping modellen. Monsters worden gedefinieerd door systeemgrootte ($N$), hopping-parameters, en een basisenergie ($E_B$).
• Feature Engineering: De input-features zijn afgeleid van de fysische eigenschappen van de systemen. Cruciaal is dat zij de wortels ($\beta$) van het karakteristieke polynoom $H(\beta) - E_B = 0$ gebruiken. De modulus van deze wortels bepaalt de ruimtelijke verval-lengtes ($\xi$) van de eigenstanden. Features omvatten ruwe hopping-parameters, mate van niet-reciprociteit, en afgeleide verval-lengtes of gegroepeerde wortel-kanalen (rekening houdend met complexe geconjugeerde paren).
• Modellen: Random-forest (RF) modellen worden ingezet. Een classifier bepaalt of een geldige crop bestaat binnen het toegestane bereik, terwijl een regressor de numerieke waarde van $\ell^\star$ voorspelt voor geldige monsters. De modellen worden getraind en getest met een 80/20 split, met specifieke aandacht voor het scheiden van residu-klassen van eindige grootte (bijv. $N \mod 2m$) om generalisatie te waarborgen.
• Validatie: De aanpak wordt getest over variërende hopping-bereiken ($m=1$ tot $5$), complexe basis-energieën ($E_B$), en onder matige hopping-disorder.

Belangrijkste Resultaten

1. Nearest-Neighbor en Pure $m$-Hop Ketens: Voor Hatano-Nelson ketens met nearest-neighbor ($m=1$) of pure $m$-hop hopping, wordt de vereiste crop-lengte gecontroleerd door een enkele lokalisatie-lengte schaal ($\xi$ of $\xi_m$).

   • De random forest regressor bereikt een hoge nauwkeurigheid ($R^2 \approx 0,997$) in het voorspellen van $\ell^\star$.
   • De feature importance analyse bevestigt dat de schaalvariabele $x = N/\xi$ de dominante voorspeller is.
   • Ver weg van faseovergangen schaalt $\ell^\star$ lineair met de lokalisatie-lengte ($\ell^\star \propto \xi$). Nabij transities worden effecten van eindige grootte gevangen door een rationale functie van $x$.
   • De tolerantie-afhankelijkheid volgt $\ell^\star \approx C_\epsilon \xi$, waarbij $C_\epsilon$ lineair groeit met $\log(1/\epsilon)$, wat consistent is met exponentieel vervallende randbijdragen.

2. Mixed Hopping Modellen: Voor ketens met gemengde first- en second-neighbor hoppings, zijn de spectrale lussen niet-elliptisch en levert de karakteristieke vergelijking meerdere onderscheidende verval-kanalen op.

   • Een enkele lokalisatie-lengte is onvoldoende. In plaats daarvan wordt de crop-lengte bepaald door het "gegroepeerde kanaal" dat het dichtst bij de eenheidscirkel in het complexe $\beta$-vlak ligt (de traagst vervallende modus).
   • Random forest modellen, getraind op gegroepeerde wortel-kanaal features, voorspellen succesvol $\ell^\star$ over verschillende winding-sectoren ($w = \pm 1, \pm 2$) met $R^2 > 0,98$.

3. Complexe Basis-energieën: De methode breidt zich uit naar algemene complexe basis-energieën $E_B$.

   • Voor pure $m$-hop modellen blijft de wortelstructuur beperkt (twee families van wortels), en de voorspeller generaliseert naar ongeziene hopping-parameters via leave-one-out validatie ($R^2 = 0,993$).
   • Voor mixed hopping modellen met complexe $E_B$, vereist de voorspeller de volledige gesigneerde radiale wortel-vector (afstand en binnen/buiten status ten opzichte van de eenheidscirkel) om geneste topologische sectoren te onderscheiden. Deze representatie maakt een nauwkeurige reconstructie van $w_{PD}$ kaarten over het complexe energieplan voor ongeziene Hamiltoniaans mogelijk.

4. Robuustheid tegen Disorder: De voorspeller getraind op cleane nearest-neighbor ketens blijft effectief onder matige hopping-disorder ($r_W = 0,3$).

   • De voorspelde $\ell^\star$ van het cleane systeem levert nauwkeurige $w_{PD}$ waarden op in het binnenste van topologische fasen (succesfractie $> 0,96$).
   • De prestaties verslechteren nabij fasegrenzen waar de puntgap sluit, wat consistent is met de verhoogde gevoeligheid voor effecten van eindige grootte en disorder.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een "praktische en fysiek interpreteerbare manier te bieden om de crop-lengte te kiezen" voor real-ruimte topologische invarianten in eindige niet-hermitische systemen. Door aan te tonen dat machine learning de relatie tussen fysische verval-lengtes en de vereiste crop-lengte accuraat kan generaliseren over diverse Hamiltoniaans, stellen de auteurs vast dat de convergentie van $w_{PD}$ fundamenteel wordt gecontroleerd door de lokalisatie-lengtes geassocieerd met het niet-hermitische huid-effect.

De auteurs benadrukken dat hun resultaten een betrouwbare bepaling van topologie in eindige systemen mogelijk maken zonder arbitraire parameter-tuning. Bovendien suggereren zij dat de geleerde relaties geïnverteerd kunnen worden om effectieve skin-effect verval-lengtes te schatten uit experimentele of numerieke data, zelfs in aanwezigheid van disorder, mits het systeem niet te dicht bij een fasegrens staat. De studie stelt geen nieuwe experimentele platforms voor, maar biedt een computationeel instrument om bestaande of toekomstige data over niet-hermitische topologische fasen te interpreteren.