Machine learning prediction of the convergence criterion for a topological invariant of finite non-Hermitian chains

Resumen Técnico: Predicción mediante Aprendizaje Automático del Criterio de Convergencia para un Invariante Topológico de Cadenas No Hermíticas Finitas

Planteamiento del Problema
En sistemas cuánticos no hermíticos, la topología se caracteriza a menudo por brechas de punto (point gaps) en el espectro de energía complejo, lo que conduce a fenómenos como el efecto de piel no hermítico (NHSE, por sus siglas en inglés), donde un número extensivo de autoestados se localiza en los bordes. Mientras que los números de giro (winding numbers, $w$) en el espacio de momento definen la topología en sistemas con invarianza de traslación, las cadenas finitas abiertas requieren invariantes topológicos en el espacio real. El invariante en el espacio real de descomposición polar ($w_{PD}$) es un candidato principal para este propósito. Sin embargo, $w_{PD}$ depende de un parámetro de "longitud de recorte" ($\ell$), que define una ventana central de volumen excluyendo las regiones de los bordes. La elección del valor de $\ell$ requerido para que $w_{PD}$ converja al número de giro exacto en el espacio de momento suele ser empírica. Esta elección se vuelve crítica cerca de las transiciones de fase topológicas, donde los efectos de tamaño finito son más fuertes, aunque la falta de un método sistemático y físicamente fundamentado para determinar la longitud de recorte óptima ($\ell^\star$) ha sido un problema.

Metodología
Los autores enmarcan la predicción de la longitud de recorte mínima requerida $\ell^\star$ (definida como la $\ell$ más pequeña tal que $|w_{PD}(\ell) - w| < \epsilon$) como un problema de aprendizaje supervisado de máquina.

• Generación de Datos: Generan conjuntos de datos para diversas cadenas no hermíticas finitas, incluyendo modelos de vecino más cercano (Hatano-Nelson), de salto puro de $m$-pasos (pure m-hop) y de rango de salto mixto. Las muestras se definen por el tamaño del sistema ($N$), parámetros de salto y energía base ($E_B$).
• Ingeniería de Características: Las características de entrada se derivan de las propiedades físicas de los sistemas. Crucialmente, utilizan las raíces ($\beta$) del polinomio característico $H(\beta) - E_B = 0$. El módulo de estas raíces determina las longitudes de decaimiento espacial ($\xi$) de los autoestados. Las características incluyen parámetros de salto brutos, medidas de no reciprocidad y longitudes de decaimiento derivadas o canales de raíces agrupados (que dan cuenta de los pares complejos conjugados).
• Modelos: Se emplean modelos de bosque aleatorio (random forest, RF). Un clasificador determina si existe un recorte válido dentro del rango permitido, mientras que un regresor predice el valor numérico de $\ell^\star$ para las muestras válidas. Los modelos son entrenados y probados utilizando una división de 80/20, con atención específica a la separación de clases de residuos de tamaño finito (por ejemplo, $N \mod 2m$) para asegurar la generalización.
• Validación: El enfoque se prueba a través de diversos rangos de salto ($m=1$ a $5$), energías base complejas ($E_B$) y bajo desorden de salto moderado.

Resultos Clave

1. Cadenas de Vecino Más Cercano y de Salto Puro de $m$-Pasos: Para las cadenas Hatano-Nelson con saltos de vecino más cercano ($m=1$) o de salto puro de $m$-pasos, la longitud de recorte requerida está controlada por una única escala de longitud de localización ($\xi$ o $\xi_m$).

   • El regresor de bosque aleatorio logra una alta precisión ($R^2 \approx 0.997$) en la predicción de $\ell^\star$.
   • El análisis de importancia de características confirma que la variable de escala $x = N/\xi$ es el predictor dominante.
   • Lejos de las transiciones de fase, $\ell^\star$ escala linealmente con la longitud de localización ($\ell^\star \propto \xi$). Cerca de las transiciones, las correcciones de tamaño finito son capturadas por una función racional de $x$.
   • La dependencia de la tolerancia sigue $\ell^\star \approx C_\epsilon \xi$, donde $C_\epsilon$ crece linealmente con $\log(1/\epsilon)$, lo cual es consistente con las contribuciones de frontera que decaen exponencialmente.

2. Modelos de Salto Mixto: Para cadenas con saltos mixtos de primer y segundo vecino, los bucles espectrales no son elípticos y la ecuación característica produce múltiples canales de decaimiento distintos.

   • Una única longitud de localización es insuficiente. En su lugar, la longitud de recorte está gobernada por el "canal agrupado" más cercano al círculo unitario en el plano complejo $\beta$ (el modo de decaimiento más lento).
   • Los modelos de bosque aleatorio entrenados con características de canales de raíces agrupados predicen con éxito $\ell^\star$ a través de diferentes sectores de giro ($w = \pm 1, \pm 2$) con $R^2 > 0.98$.

3. Energías Base Complejas: El método se extiende a energías base complejas generales $E_B$.

   • Para modelos de salto puro de $m$-pasos, la estructura de las raíces permanece restringida (dos familias de raíces), y el predictor se generaliza a parámetros de salto no vistos mediante validación de dejar uno fuera (leave-one-out) ($R^2 = 0.993$).
   • Para modelos de salto mixto con $E_B$ compleja, el predictor requiere el vector radial con signo completo (distancia y estado de dentro/fuera respecto al círculo unitario) para distinguir sectores topológicos anidados. Esta representación permite la reconstrucción precisa de los mapas de $w_{PD}$ a través del plano de energía compleja para Hamiltonianos no vistos.

4. Robustez al Desorden: El predictor entrenado en cadenas de vecino más cercano limpias sigue siendo efectivo bajo un desorden de salto moderado ($r_W = 0.3$).

   • El $\ell^\star$ predicho de la cadena limpia proporciona valores de $w_{PD}$ precisos en el interior de las fases topológicas (fracción de éxito $> 0.96$).
   • El rendimiento se degrada cerca de los límites de fase donde la brecha de punto se cierra, lo cual es consistente con la mayor sensibilidad a los efectos de tamaño finito y al desorden.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una "manera práctica y físicamente interpretable de elegir la longitud de recorte" para los invariantes topológicos en el espacio real en sistemas no hermíticos finitos. Al demostrar que el aprendizaje automático puede generalizar con precisión la relación entre las longitudes de decaimiento físico y la longitud de recorte requerida a través de diversos Hamiltonianos, los autores establecen que la convergencia de $w_{PD}$ está fundamentalmente controlada por las longitudes de localización asociadas con el efecto de piel no hermítico.

Los autores enfatizan que sus resultados permiten la determinación fiable de la topología en sistemas finitos sin un ajuste arbitrario de parámetros. Además, sugieren que las relaciones aprendidas pueden invertirse para estimar las longitudes de decaimiento efectivas del efecto de piel a partir de datos experimentales o numéricos, incluso en presencia de desorden, siempre que el sistema no esté demasiado cerca de un límite de fase. El estudio no propone nuevas plataformas experimentales, sino que ofrece una herramienta computacional para interpretar datos existentes o futuros sobre fases topológicas no hermíticas.