Machine learning prediction of the convergence criterion for a topological invariant of finite non-Hermitian chains

技術要約：有限非エルミート鎖のトポロジカル不変量における収束条件の機械学習による予測

問題提起
非エルミート量子系において、トポロジーはしばしば複素エネルギー・スペクトルのポイントギャップによって特徴付けられ、これは非エルミートスキン効果（NHSE）に代表される、膨大な数の固有状態が境界に局在化する現象を引き起こす。運動量空間のワインド数（$w$）は並進対称性を持つ系におけるトポロジーを定義するが、有限の開いた鎖には実空間のトポロジカル不変量が必要となる。極分解（polar-decomposition）実空間不変量（$w_{PD}$）は、この目的のための主要な候補である。しかし、$w_{PD}$は、境界領域を除外することで中心部のバルク窓を定義する「クロップ長（crop-length）」パラメータ（$\ell$）に依存する。$w_{PD}$が正確な運動量空間のワインド数に収束するために必要な$\ell$の値は、通常、経験的に選択される。この選択は、有限サイズ効果が最も強くなるトポロジカル相転移付近で極めて重要となるが、最適化されたクロップ長（$\ell^\star$）を決定するための系統的かつ物理的根拠に基づいた手法はこれまで欠けていた。

手法
著者らは、最小限必要なクロップ長 $\ell^\star$（$\ell^\star$ は $|w_{PD}(\ell) - w| < \epsilon$ を満たす最小の $\ell$ と定義される）の予測を、教師あり機械学習問題として定式化している。

• データ生成: 著者らは、様々な有限非エルミート鎖（近接相互作用のHatano-Nelsonモデル、純粋な$m$-ホップモデル、および混合範囲ホッピングモデル）のデータセットを生成している。サンプルは、システムサイズ（$N$）、ホッピングパラメータ、および基底エネルギー（$E_B$）によって定義される。
• 特徴量エンジニアリング: 入力特徴量は、系の物理的特性から導出される。決定的な要素として、特性多項式 $H(\beta) - E_B = 0$ の根（$\beta$）を利用している。これらの根の絶対値は、固有状態の空間的減衰長（$\xi$）を決定する。特徴量には、生のホッピングパラメータ、非相反性の尺度、および導出された減衰長やグループ化された根のチャネル（複素共役ペアを考慮したもの）が含まれる。
• モデル: ランダムフォレスト（RF）モデルが採用されている。分類器は、許容範囲内に有効なクロップが存在するかどうかを判定し、回帰器は有効なサンプルの数値的な $\ell^\star$ を予測する。モデルは80/20の分割で訓練およびテストされており、汎化性能を確保するために、特定の有限サイズ残差クラス（例：$N \mod 2m$）を分離することに細心の注意が払われている。
• 検証: このアプローチは、様々なホッピング範囲（$m=1$ から $5$）、複素基底エネルギー（$E_B$）、および緩やかなホッピング無秩序の下でテストされている。

主な結果

1. 近接相互作用および純粋な$m$-ホップ鎖: Hatano-Nelson鎖（近接相互作用 $m=1$）または純粋な $m$-ホップホッピングの場合、必要なクロップ長は単一の局在化長さスケール（$\xi$ または $\xi_m$）によって制御される。

   • ランダムフォレスト回帰器は、$\ell^\star$ の予測において高い精度（$R^2 \approx 0.997$）を達成した。
   • 特徴量の重要度分析により、スケーリング変数 $x = N/\xi$ が支配的な予測因子であることが確認された。
   • 相転移から離れた領域では、$\ell^\star$ は局在化長と線形にスケールする（$\ell^\star \propto \xi$）。転移付近では、有限サイズ補正が $x$ の有理関数によって捉えられる。
   • 許容誤差への依存性は $\ell^\star \approx C_\epsilon \xi$ に従い、$C_\epsilon$ は $\log(1/\epsilon)$ に対して線形に増大する。これは指数関数的に減衰する境界寄与と一致している。

2. 混合ホッピングモデル: 第1近接および第2近接ホッピングが混在する鎖では、スペクトルループは非楕円形となり、特性方程式は複数の異なる減衰チャネルを生じる。

   • 単一の局在化長では不十分である。代わりに、クロップ長は、複素 $\beta$ 平面において単位円に最も近い（最も減衰が遅いモードである）「グループ化されたチャネル」によって支配される。
   • グループ化された根のチャネルの特徴量を用いて訓練されたランダムフォレストモデルは、異なるワインディングセクター（$w = \pm 1, \pm 2$）にわたって $\ell^\star$ を高精度に予測した（$R^2 > 0.98$）。

3. 複素基底エネルギー: この手法は、一般的な複素基底エネルギー $E_B$ にも拡張可能である。

   • 純粋な $m$-ホップモデルでは、根の構造は制約されており（2つの根のファミリー）、予測器はleave-one-out検証を通じて未知のホッピングパラメータに対しても汎化される（$R^2 = 0.993$）。
   • 混合ホッピングモデルで複素 $E_B$ を持つ場合、入れ子状のトポロジカルセクターを区別するために、完全な符号付き放射状根ベクトル（距離および単位円の内側/外側のステータス）が必要となる。この表現により、未知のハミルトニアンに対する $w_{PD}$ マップの正確な再構成が可能となる。

4. 無秩序に対する堅牢性: クリーンな近接相互作用鎖で訓練された予測器は、緩やかなホッピング無秩序（$r_W = 0.3$）の下でも効果的である。

   • クリーンな系から予測された $\ell^\star$ は、トポロジカル相の内部において正確な $w_{PD}$ 値を与える（成功率 $> 0.96$）。
   • ポイントギャップが閉じる相境界付近では、有限サイズ効果と無秩序への感受性が高まるため、性能は低下する。

意義および主張
本論文は、有限の非エルミート系における実空間トポロジカル不変量のための「クロップ長を選択するための実用的かつ物理的に解釈可能な方法」を提供すると主張している。機械学習が、多様なハミルトニアンにわたって物理的な減衰長と必要なクロップ長との関係を正確に汎化できることを示すことで、著者らは、$w_{PD}$ の収束が本質的に非エルミートスキン効果に関連する局在化長によって制御されていることを立証している。

著者らは、これらの結果が、任意のパラメータチューニングを行うことなく、有限系におけるトポロジーの信頼できる決定を可能にすることを強調している。さらに、学習された関係性を逆転させることで、実験的または数値的なデータから、たとえ無秩序が存在する場合でも（系が相境界に近すぎない限り）、有効なスキン効果の減衰長を推定できる可能性があることを示唆している。本研究は新しい実験プラットフォームを提案するものではなく、既存または将来のデータにおける非エルミート・トポロジカル相を解釈するための計算ツールを提供するものである。