Averages of diagonal Elliott-Halberstam problem twisted by Möbius function with Sobolev and Hölder-Zygmund weights

技术摘要：由 Möbius 函数扭动的对角 Elliott-Halberstam 问题的平均值，带有 Sobolev 与 Hölder-Zygmund 权重

问题陈述
本文研究了由 Möbius 函数扭动的加权平均变体 Elliott-Halberstam (EH) 猜想，记作 $EH_\mu(N^\theta)$。经典的 $EH_\mu$ 猜想指出，由 Möbius 函数加权的算术级数中的素数分布表现出强烈的抵消，这一条件对于克服筛法中的“奇偶性问题”至关重要。具体而言，该猜想断言，对于 $0 < \theta < 1$，在剩余类中 $\Lambda(n)\mu(N-n)$ 的实际分布与预期平均值之间的偏差之和被限制在 $N/\log(N)^A$ 以内。

作者指出，证明 $EH_\mu(N^\theta)$ 对于 $\theta > 1/2$ 成立，结合经典的 Elliott-Halberstam 猜想，可以推导出对于足够大的偶数，二元哥德巴赫猜想成立。然而，原始表述涉及范围 $y \le N$ 的最大值，这增加了分析的复杂性。本文专注于该问题的“对角”版本，记作 $dEH_{\mu, \log}(N^\theta)$，其中求和被限制在对角情况 $n \equiv N \pmod q$（实际上设置 $y=N$ 并去除了对 $y$ 的最大值取值）。主要目标是为该对角扭转和的加权平均值建立上界，其中权重 $f$ 属于特定的函数空间，从而证明其与猜想的界限一致。

方法论
核心方法论创新在于应用二维 Abel 求和公式来“解耦”加权平均中所涉及的算术函数。本文根据权重函数的正则性，采用了两种不同的方法：

1. 连续情形（Sobolev 空间）： 对于属于 Sobolev 空间 $W^{2,1}$ 的权重 $f$，作者采用了连续二维 Abel 求和公式（定理 8）。该恒等式将两个算术函数的卷积的加权平均值与它们未加权显式公式的 Laplace 卷积联系起来。这使得作者能够直接将 von Mangoldt 函数 $\Lambda(n)$ 和 Mertens 函数 $M(n)$ 的显式公式（涉及 $L$-函数的非平凡零点之和）代入积分表示中。

2. 离散情形（Hölder-Zygmund 空间）： 对于具有较低正则性的权重，特别是属于 Hölder-Zygmund 空间 $C_\delta$（其中 $1 \le \delta < 2$）的权重，作者采用了离散版本的 Abel 求和公式（定理 9）。这种方法使用二阶前向差分（$\Delta^2_{1/N} f$）取代了权重的二阶导数。这种转变使得分析可以依赖于 Hölder-Zygmund 空间的性质，这些性质控制了有限差分的增长。

关键假设
结果取决于解析数论中几个标准或猜想性的假设：

• 广义黎曼假设 (GRH)： 对相关的 $L$-函数成立。
• Gonek-Hejjel 猜想（弱版本）： 特别是猜想 19，它断言 $\sum_{0<\gamma \le T} |\zeta'(\rho)|^{-2} \ll T$。这用于确保涉及 Riemann zeta 函数及其 Dirichlet $L$-函数非平凡零点的双重级数的绝对收敛。
• 零点的单性： 分析假设 $\zeta(s)$ 的非平凡零点是单根。

主要贡献与结果

1. 归约为对角猜想： 本文首先证明（第 2 节）对角猜想 $dEH_{\mu, \log}$ 足以证明二元哥德巴赫猜想，从而证明了研究这一特定变体的合理性。

2. 加权平均的显式公式：

   • Sobolev 权重 ($W^{2,1}$)： 定理 21 提供了涉及权重 $f \in W^{2,1}$ 的截断显式公式。主项表示为一个关于 $\zeta(s)$ 和 $L(s, \chi)$ 的非平凡零点的双重求和，并由 Gamma 函数以及 $f$ 的二阶导数的积分进行加权。
   • Hölder-Zygmund 权重 ($C_\delta$)： 定理 23 提供了对于 $C_\delta$ 中权重的类似显式公式，其中涉及 $f''$ 的积分被涉及 $f$ 的二阶前向差分的求和所取代。

3. 加权平均的上界：

   • Sobolev 情形： 在 GRH 和弱形式的 Gonek-Hejhel 猜想下，定理 22 确立了对于属于 $W^{2,1}$ 的权重，对角扭转 EH 问题的加权平均满足界限 $\ll_\varepsilon N^{2-\varepsilon} E(f'')$，适用于全范围 $0 < \theta < 1$（具体为 $\theta = 1-2\varepsilon$）。
   • Hölder-Zygmund 情形： 定理 24 将这些结果扩展到 $C_\delta$ 中的权重。可实现的 $\theta$ 范围取决于正则性参数 $\delta$：
     • 对于 $\delta \in [3/2, 2)$，该界限在 $\theta < \delta - 1 - 2\varepsilon$ 时成立。
     • 对于 $\delta \in [1, 3/2)$，该界限在 $\theta < 1/2 - 2\varepsilon$ 时成立。
   • 对数权重： 第 5 节将这些结果扩展到 Möbius 函数乘以对数 $\mu(n)\log(n)$ 的情况，展示了类似的界限（定理 26 和 28）。

4. 示例： 第 6 节将这些通用定理应用于特定的权重函数，包括经典的 Cesàro-Riesz 权重（当 $k>1$ 时属于 Sobolev 类）以及一种特定的 Zygmund 型权重 $f_{Zyg}(x) = (1-x)\sin(\log(1-x))$，展示了 Hölder-Zygmund 框架的适用性。

意义与主张
本文声称提供了一个关于对角扭转 Elliott-Halberstam 问题加权平均的一致上界。其主要意义在于表明，在假设 GRH 和弱形式的 Gonek-Hejhel 猜想下，这些界限与“对角版本”的猜想（其中 $y=N$）是一致的。

作者强调，该方法成功处理了具有不同正则性的权重。通过利用离散 Abel 求和公式，本文将分析从光滑的 Sobolev 权重扩展到了更广泛的 Hölder-Zygmund 函数类。结果表明，虽然“对角”表述在关于 $y$ 的最大值取值方面较弱，但只要权重具有足够的正则性（或者相应地调整正则性阈值 $\theta$），它仍保留了在加权平均中产生预期抵消所需的强度。这项工作并非声称无条件地证明完整的 Elliott-Halberstam 猜想或哥德巴赫猜想，而是建立了在标准解析假设下的加权平均变体的有效性。