Averages of diagonal Elliott-Halberstam problem twisted by Möbius function with Sobolev and Hölder-Zygmund weights

Resumen Técnico: Promedios de la Problema de Elliott-Halberstam Diagonal con la Función Möbius con Pesos de Sobolev y Hölder-Zygmund

Planteamiento del Problema
El artículo investiga variantes de promedios ponderados del problema de Elliott-Halberstam (EH) diagonal, retorcido por la función Möbius, denotado como $EH_\mu(N^\theta)$. La conjetura clásica $EH_\mu$ postula que la distribución de los primos ponderados por la función Möbius en progresiones aritméticas exhibe una cancelación fuerte, una condición crucial para superar el "problema de la paridad" en los métodos de la criba. Específicamente, la conjetura afirma que para $0 < \theta < 1$, la suma de las discrepancias entre la distribución real de $\Lambda(n)\mu(N-n)$ en clases de residuos y su promedio esperado está acotada por $N/\log(N)^A$.

El autor señala que probar $EH_\mu(N^\theta)$ para $\theta > 1/2$, en conjunto con la conjetura de Elliott-Halberstam clásica, implica la conjetura de Goldbach binaria para enteros pares suficientemente grandes. Sin embargo, la formulación original involucra un máximo sobre el rango $y \le N$, lo que complica el análisis. El artículo se centra en una versión "diagonal" de este problema, denotada como $dEH_{\mu, \log}(N^\theta)$, donde la sumatoria se restringe al caso diagonal $n \equiv N \pmod q$ (efectivamente estableciendo $y=N$ y eliminando el máximo sobre $y$). El objetivo principal es establecer cotas superiores para los promedios ponderados de esta suma retorcida diagonal, donde las funciones de peso $f$ pertenecen a espacios de funciones específicos, demostrando así la consistencia con las cotas conjeturadas.

Metodología
La innovación metodológica central es la aplicación de una fórmula de sumatoria de Abel bidimensional para "desacoplar" las funciones aritméticas involucradas en el promedio ponderado. El artículo utiliza dos enfoques distintos dependiendo de la regularidad de la función de peso $f$:

1. Caso Continuo (Espacios de Sobolev): Para pesos $f$ en el espacio de Sobolev $W^{2,1}$, el autor emplea una fórmula de sumatoria de Abel bidimensional continua (Teorema 8). Esta identidad relaciona el promedio ponderado de la convolución de dos funciones aritméticas con la convolución de Laplace de sus fórmulas explícitas no ponderadas. Esto permite al autor sustituir directamente las fórmulas explícitas para la función de von Mangoldt $\Lambda(n)$ y la función de Mertens $M(n)$ (involucrando sumas sobre los ceros no triviales de las funciones $L$) en la representación integral.

2. Caso Discreto (Espacios de Hölder-Zygmund): Para pesos con menor regularidad, específicamente en los espacios de Hölder-Zygmund $C_\delta$ para $1 \le \delta < 2$, el autor emplea una versión discreta de la fórmula de sumatoria de Abel (Teorema 9). Este enfoque reemplaza la segunda derivada del peso por diferencias hacia adelante de segundo orden ($\Delta^2_{1/N} f$). Este cambio permite que el análisis dependa de las propiedades de los espacios de Hölder-Zygmund, que controlan el crecimiento de estas diferencias finitas.

Supuestos Clave
Los resultados son condicionales a varias hipótesis estándar o conjeturales en la teoría de números analítica:

• Hipótesis de Riemann Generalizada (GRH): Asumida para las funciones $L$ relevantes.
• Conjetura de Gonek-Hejhal (Versión Débil): Específicamente, la Conjetura 19, que afirma $\sum_{0<\gamma \le T} |\zeta'(\rho)|^{-2} \ll T$. Esta se utiliza para asegurar la convergencia absoluta de las series dobles que involucran los ceros no triviales de la función zeta de Riemann y las funciones $L$ de Dirichlet.
• Simplicidad de los Ceros: El análisis asume que los ceros no triviales de $\zeta(s)$ son simples.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Reducción a la Conjetura Diagonal: El artículo demuestra primero (Sección 2) que la conjetura diagonal $dEH_{\mu, \log}$ es suficiente para probar la conjetura de Goldbach binaria, justificando el estudio de este variante específico.

2. Fórmulas Explícitas para Promedios Ponderados:

   • Pesos de Sobolev ($W^{2,1}$): El Teorema 21 proporciona una fórmula explícita truncada para el promedio ponderado que involucra un peso $f \in W^{2,1}$. El término principal se expresa como una doble suma sobre los ceros no triviales de $\zeta(s)$ y $L(s, \chi)$, ponderada por funciones Gamma y una integral de la segunda derivada de $f$.
   • Pesos de Hölder-Zygmund ($C_\delta$): El Teorema 23 proporciona una fórmula explícita similar para pesos en $C_\delta$, donde la integral que involucra a $f''$ es reemplazada por una suma que involucra la segunda diferencia hacia adelante de $f$.

3. Cotas Superiores para Promedios Ponderados:

   • Caso de Sobolev: Bajo GRH y la conjetura débil de Gonek-Hejhal, el Teorema 22 establece que para pesos en $W^{2,1}$, el promedio ponderado del problema EH diagonal retorcido satisface la cota $\ll_\varepsilon N^{2-\varepsilon} E(f'')$ para todo el rango $0 < \theta < 1$ (específicamente $\theta = 1-2\varepsilon$).
   • Caso de Hölder-Zygmund: El Teorema 24 extiende estos resultados a pesos en $C_\delta$. El rango alcanzable de $\theta$ depende del parámetro de regularidad $\delta$:
     • Para $\delta \in [3/2, 2)$, la cota se mantiene para $\theta < \delta - 1 - 2\varepsilon$.
     • Para $\delta \in [1, 3/2)$, la cota se mantiene para $\theta < 1/2 - 2\varepsilon$.
   • Pesos Logarítmicos: La Sección 5 extiende estos resultados al caso donde la función Möbius es multiplicada por un logaritmo, $\mu(n)\log(n)$, mostrando cotas análogas (Teoremas 26 y 28).

4. Ejemplos: La Sección 6 aplica estos teoremas generales a funciones de peso específicas, incluyendo los pesos clásicos de Cesàro-Riesz (que pertenecen a la clase de Sobolev para $k>1$) y un peso específico de tipo Zygmund $f_{Zyg}(x) = (1-x)\sin(\log(1-x))$, demostrando la aplicabilidad del marco de Hölder-Zygmund.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una cota superior consistente para el promedio ponderado del problema de Elliott-Halberstam diagonal retorcido. El significado principal radica en mostrar que estas cotas son consistentes con las "versiones diagonales" de la conjetura (donde $y=N$) bajo la suposición de GRH y una versión débil de la conjetura de Gonek-Hejhal.

El autor enfatiza que el método maneja con éxito pesos con diversos grados de regularidad. Al utilizar la fórmula de sumatoria de Abel discreta, el artículo extiende el análisis más allá de los pesos suaves de Sobolev hacia la clase más amplia de funciones de Hölder-Zygmund. Los resultados sugieren que la formulación "diagonal", aunque es más débil en términos del máximo sobre $y$, conserva la fuerza necesaria para producir la cancelación esperada en los promedios ponderados, siempre que los pesos sean suficientemente regulares (o que el umbral de regularidad $\theta$ se ajuste en consecuencia). El trabajo no pretende probar la conjetura de Elliott-Halberstam completa ni la conjetura de Goldbach de forma incondicional, sino establecer la validez de las variantes de promedios ponderados bajo hipótesis analíticas estándar.