Averages of diagonal Elliott-Halberstam problem twisted by Möbius function with Sobolev and Hölder-Zygmund weights

Résumé technique : Moyennes de la moyenne diagonale du problème d'Elliott-Halberstam tordu par la fonction de Möbius avec des poids de Sobolev et de Hölder-Zygmund

Énoncé du problème
L'article étudie les variantes de moyennes pondérées de la conjecture d'Elliott-Halberstam (EH) tordue par la fonction de Möbius, notée $EH_\mu(N^\theta)$. La conjecture classique $EH_\mu$ pose que la distribution des nombres premiers pondérés par la fonction de Möbius dans les progressions arithmétiques présente une forte annulation, une condition cruciale pour surmonter le « problème de la parité » dans les méthodes de criblage. Plus précisément, la conjecture affirme que pour $0 < \theta < 1$, la somme des écarts entre la distribution réelle de $\Lambda(n)\mu(N-n)$ dans les classes de résidus et leur moyenne attendue est bornée par $N/\log(N)^A$.

L'auteur note que prouver $EH_\mu(N^\theta)$ pour $\theta > 1/2$, conjointement avec la conjecture d'Elliott-Halberstam classique, implique la conjecture de Goldbach binaire pour les entiers pairs suffisamment grands. Cependant, la formulation originale implique un maximum sur la plage $y \le N$, ce qui complique l'analyse. L'article se concentre sur une version « diagonale » de ce problème, notée $dEH_{\mu, \log}(N^\theta)$, où la sommation est restreinte au cas diagonal $n \equiv N \pmod q$ (fixant effectivement $y=N$ et supprimant le maximum sur $y$). L'objectif principal est d'établir des bornes supérieures pour les moyennes pondérées de cette somme tordue diagonale, où les poids $f$ appartiennent à des espaces de fonctions spécifiques, démontrant ainsi la cohérence avec les bornes conjecturées.

Méthodologie
L'innovation méthodologique centrale est l'application d'une formule de sommation d'Abel à deux dimensions pour « découpler » les fonctions arithmétiques impliquées dans la moyenne pondérée. L'auteur utilise deux approches distinctes selon la régularité de la fonction de poids $f$ :

1. Cas continu (Espaces de Sobolev) : Pour les poids $f$ dans l'espace de Sobolev $W^{2,1}$, l'auteur emploie une formule de sommation d'Abel continue à deux dimensions (Théorème 8). Cette identité relie la moyenne pondérée de la convolution de deux fonctions arithmétiques à la convolution de Laplace de leurs formules explicites non pondérées. Cela permet à l'auteur d'injecter directement les formules explicites de la fonction de von Mangoldt $\Lambda(n)$ et de la fonction de Mertens $M(n)$ (impliquant des sommes sur les zéros non triviaux des fonctions $L$) dans la représentation intégrale.

2. Cas discret (Espaces de Hölder-Zygmund) : Pour les poids ayant une régularité moindre, spécifiquement ceux dans les espaces de Hölder-Zygmund $C_\delta$ pour $1 \le \delta < 2$, l'auteur emploie une version discrète de la formule de sommation d'Abel (Théorème 9). Cette approche remplace la dérivée seconde du poids par des différences de différence de premier ordre $\Delta^2_{1/N} f$. Ce passage permet à l'analyse de s'appuyer sur les propriétés des espaces de Hölder-Zygmund, qui contrôlent la croissance de ces différences finies.

Hypothèses clés
Les résultats sont conditionnés par plusieurs hypothèses standards ou conjecturales en théorie analytique des nombres :

• Hypothèse de Riemann Généralisée (GRH) : Supposée pour les fonctions $L$ pertinentes.
• Conjecture de Gonek-Hejhal (version faible) : Spécifiquement, la Conjecture 19, qui affirme $\sum_{0<\gamma \le T} |\zeta'(\rho)|^{-2} \ll T$. Elle est utilisée pour assurer la convergence absolue des séries doubles impliquant les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann et des fonctions $L$ de Dirichlet.
• Simplicité des zéros : L'analyse suppose que les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ sont simples.

Contributions et résultats clés

1. Réduction à la conjecture diagonale : L'article démontre d'abord (Section 2) que la conjecture diagonale $dEH_{\mu, \log}$ est suffisante pour prouver la conjecture de Goldbach binaire, justifiant ainsi l'étude de cette variante spécifique.

2. Formules explicites pour les moyennes pondérées :

   • Poids de Sobolev ($W^{2,1}$) : Le Théorème 21 fournit une formule explicite tronquée pour la moyenne pondérée impliquant un poids $f \in W^{2,1}$. Le terme principal est exprimé sous la forme d'une double somme sur les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ et de $L(s, \chi)$, pondérée par des fonctions Gamma et une intégrale de la dérivée seconde de $f$.
   • Poids de Hölder-Zygmund ($C_\delta$) : Le Théorème 23 fournit une formule explicite similaire pour les poids dans $C_\delta$, où l'intégrale impliquant $f''$ est remplacée par une somme impliquant la seconde différence de premier ordre de $f$.

3. Bornes supérieures pour les moyennes pondérées :

   • Cas de Sobolev : Sous l'hypothèse GRH et la faible conjecture de Gonek-Hejjal, le Théorème 22 établit que pour les poids dans $W^{2,1}$, la moyenne pondérée du problème EH diagonal tordu satisfait la borne $\ll_\varepsilon N^{2-\varepsilon} E(f'')$ pour toute la plage $0 < \theta < 1$ (spécifiquement $\theta = 1-2\varepsilon$).
   • Cas de Hölder-Zygmund : Le Théorème 24 étend ces résultats aux poids dans $C_\delta$. La plage de $\theta$ atteignable dépend du paramètre de régularité $\delta$ :
     • Pour $\delta \in [3/2, 2)$, la borne est valable pour $\theta < \delta - 1 - 2\varepsilon$.
     • Pour $\delta \in [1, 3/2)$, la borne est valable pour $\theta < 1/2 - 2\varepsilon$.
   • Poids logarithmiques : La section 5 étend ces résultats au cas où la fonction de Möbius est multipliée par un logarithme, $\mu(n)\log(n)$, montrant des bornes analogues (Théorèmes 26 et 28).

4. Exemples : La section 6 applique ces théorèmes généraux à des fonctions de poids spécifiques, incluant les poids classiques de Cesàro-Riesz (qui appartiennent à la classe de Sobolev pour $k>1$) ainsi qu'un poids de type Zygmund spécifique $f_{Zyg}(x) = (1-x)\sin(\log(1-x))$, démontrant l'applicabilité du cadre de Hölder-Zygmund.

Signification et revendications
L'article prétend fournir une borne supérieure cohérente pour la moyenne pondérée du problème d'Elliott-Halberstam diagonal tordu. La principale signification réside dans le fait de montrer que ces bornes sont cohérentes avec les « versions diagonales » de la conjecture (où $y=N$) sous l'hypothèse de la GRH et d'une forme faible de la conjecture de Gonek-Hejhal.

L'auteur souligne que la méthode traite avec succès des poids ayant des degrés de régularité variables. En utilisant la formule de sommation d'Abel discrète, l'article étend l'analyse au-delà des poids lisses de Sobolev vers la classe plus large des fonctions de Hölder-Zygmund. Les résultats suggèrent que la formulation « diagonale », bien que plus faible en termes de maximum sur $y$, conserve la force nécessaire pour produire l'annulation attendue dans les moyennes pondérées, à condition que les poids soient suffisamment réguliers (ou que le seuil de régularité $\theta$ soit ajusté en conséquence). Le travail ne prétend pas prouver la conjecture d'Elliott-Halberstam complète ou la conjecture de Goldbach de manière inconditionnelle, mais établit plutôt la validité des variantes de moyennes pondérées sous des hypothèses analytiques standards.