Intrinsic ergodicity for $\mathfrak{B}$-free integers in number fields

技术摘要：数域中 $B$-free 整数的内在遍历性

问题陈述
本文研究了数域背景下 $B$-free 子移位的内在遍历性问题。虽然 $B$-free 系统（生成性、拓扑熵、容许性以及近邻性）在各种设定下的结构性质已被建立——包括经典的平方自由整数（$K=\mathbb{Q}$）、$k$-自由格点以及 $B$-free 格点——但在多维和数域设定下，最大熵测度的唯一性（即内在遍历性）仍是一个悬而未决的问题。

具体而言，设 $K$ 为一个数域，$\mathcal{O}_K$ 为其代数整数环，$\mathcal{B} = \{b_\ell\}_{\ell \ge 1}$ 是一个 Erdős 族理想（无限、两两互素，且满足 $\sum 1/N(b_\ell) < \infty$）。相关的 $B$-free 子移位 $(X_\mathcal{B}, (S_a)_{a \in \mathcal{O}_K})$ 是一个具有正拓扑熵的遗传系统（hereditary system）。已知该系统携带一个“Mirsky 测度” $\nu_\eta$（它是紧致旋转群上 Haar 测度的推前测度），该测度的 Kolmogorov-Sinai 熵为零。核心问题在于是否存在唯一的熵最大化不变测度，如果存在，如何明确识别它。

方法论
证明过程通过一系列归约，随后对一个核心刚性陈述进行两种独立的证明。

1. 归约为饱和集与因子映射：
   借鉴 Araújo, Dymek, 和 Kułaga-Przymus [1] 的工作，作者建立了一个结论：任何最大熵测度都集中在 $X_\mathcal{B}$ 的一个饱和集 $Y \subset X_\mathcal{B}$ 上。该集合由其支撑集相对于每个理想 $b_\ell$ 恰好遗漏一个剩余类的配置组成。
   定义了一个 Borel 且等变的“相位映射” $\theta: Y \to G$，其中 $G = \prod_{\ell \ge 1} \mathcal{O}_K/b_\ell$ 是一个紧致阿贝尔群。在旋转作用下，系统 $(G, T)$ 是唯一遍历的，且熵为零。根据对于阿贝尔群作用的 Abramov–Rokhlin 加法公式，任何在 $Y$ 上投影到 $G$ 上的 Haar 测度 $P$ 的不变测度 $\nu$ 的熵，等于其相对于旋转因子的相对熵：$h_\nu(S) = h_\nu(S \mid \mathcal{F}_\theta)$。

2. 刚性陈述：
   问题归约为：证明在所有投影到 $P$ 的测度中，相对熵被允许位置的密度 $D = \prod (1 - 1/N(b_\ell))$ 所限制，且当且仅当测度为特定测度 $\kappa$ 时取等号。

3. 两种独立的刚性证明：
   作者提供了两种不同的证明方式：

   • 相对熵论证（第 4 节）： 该证明利用单点条件熵方法。通过在 $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^d$ 上固定字典序，相对熵被表示为给定过去和相位时单个位置的条件熵。作者展示了，使该熵最大化将迫使一个位置被“允许”（1）的条件概率在不受相位限制时恰好为 $1/2$（公平硬币），这唯一确定了该测度为允许集上的独立公平硬币乘积。
   • 通过精确平铺进行诱导与分裂（第 5 节）： 该证明将 Peckner 的“诱导与分裂”（induce-and-split）方案 [16] 适配到多维设定中。由于 $\mathcal{O}_K$ 缺乏一阶回流映射（不同于 $\mathbb{Z}$），作者使用精确平铺（exact tiling）立方体来代替诱导。他们定义了一个在子格点原点上的“超符号”（super-symbol）过程。证明表明，在最大熵下，系统的相对熵等于超符号的熵，这进而迫使超符号在每个平铺内的允许配置上是条件独立的，且服从均匀分布。这种结构意味着该测度是基底旋转的一个相对独立扩张，并带有 Bernoulli 纤维。

主要贡献与结果

• 定理 1.3（主要结果）： $B$-free 子移位 $(X_\mathcal{B}, S)$ 是内在遍历的。它拥有唯一的最大熵测度，记作 $\kappa$。

  • 显式识别： $\kappa$ 通过编码映射 $\Phi(g, \omega) = \phi(g) \cdot \omega$ 被构造为乘积测度 $P \otimes \beta$ 的推前，其中 $P$ 是 $G$ 上的 Haar 测度，$\beta$ 是 $\{0,1\}^{\mathcal{O}_K}$ 上的均匀 Bernoulli 测度。
  • 熵值： 拓扑熵为 $h_{top}(X_\mathcal{B}) = \prod_{\ell \ge 1} (1 - 1/N(b_\ell))$。测度 $\kappa$ 达到了这一熵值。
  • 结构： 在给定 Haar 随机相位 $g \in G$ 的条件下，$\kappa$ 在允许的位置 $A_g$（即不满足 $x \equiv -g_\ell \pmod{b_\ell}$ 的位置）上放置独立的公平硬币，并在其他位置放置零。
  • 奇异性： $\kappa$ 与 Mirsky 测度 $\nu_\eta$ 互为奇异。虽然 $\nu_\eta$ 对应于允许位置上的“全 1”配置（零熵），但 $\kappa$ 对应于随机配置（正熵）。

• 推论 1.4（推广）： 作为定理 1.3 的结果，并基于内在遍历性是拓扑共轭不变量的事实，本文确立了以下系统的内在遍历性：

  • $k$-自由格点子移位（Pleasants–Huck, Huck–Baake）。
  • $B$-free 格点子移位（Baake–Huck）。
  • $k$-自由数域子移位（Cellarosi–Vinogradov）。

• 等分布性（推论 6.1）： 本文证明了在大 Følner 框上的均匀随机容许模式依测度 $\kappa$ 进行等分布。

意义与主张
本文声称提供了一维以外 $B$-free 系统内在遍历性的首次证明。它解决了数域中 $B$-free 整数及相关格点设定下的开放问题。

作者强调了该结果的“真实刚性”：尽管该系统是遗传的，并支持一个庞大的不变测度单纯形，但其算术结构迫使产生唯一的“最混沌”测度。该测度在结构上与自然的算术测度 Mirsky 测度截然不同，但作为一种相对独立扩张与后者密切相关。其工作展示了算术旋转的“有序性”与最大熵测度的“混沌性”如何可以共存，且后者是唯一的熵最大化者。证明技术，特别是通过精确平铺将“诱导与分裂”方案适配到多维设定中的方法，被视为重要的方法论贡献。