Intrinsic ergodicity for $\mathfrak{B}$-free integers in number fields

Résumé Technique : Ergodicité Intrinsèque pour les Entiers $B$-libres dans les Corps de Nombres

Énoncé du Problème
L'article traite du problème de l'ergodicité intrinsèque pour les sous-chemins $B$-libres dans le contexte des corps de nombres. Si les propriétés structurelles des systèmes $B$-libres (généricité, entropie topologique, admissibilité et proximité) ont été établies pour divers contextes — incluant les entiers sans carré parfait ($K=\mathbb{Q}$), les points de réseau $k$-libres et les points de réseau $B$-libres — l'unicité de la mesure d'entropie maximale (ergodicité intrinsèque) est restée une question ouverte pour les contextes multidimensionnels et de corps de nombres.

Plus précisément, soit $K$ un corps de nombres avec son anneau d'entiers $\mathcal{O}_K$, et soit $\mathcal{B} = \{b_\ell\}_{\ell \ge 1}$ une famille d'idéaux d'Erdős (infinie, de classes de congruence mutuellement coprimes, avec $\sum 1/N(b_\ell) < \infty$). Le sous-chemin $B$-libre associé $(X_\mathcal{B}, (S_a)_{a \in \mathcal{O}_K})$ est un système héréditaire possédant une entropie topologique positive. Il est connu que le système porte une « mesure de Mirsky » $\nu_\eta$ (la poussée vers l'avant de la mesure de Haar sur un groupe compact de rotations), qui possède une entropie de Kolmogorov-Sinai nulle. La question centrale est de savoir s'il existe une unique mesure invariant qui maximise l'entropie, et si oui, de l'identifier explicitement.

Méthodologie
La preuve procède par une série de réductions suivies de deux preuves indépendantes d'un énoncé central de rigidité.

1. Réduction à un Ensemble Saturé et à une Application de Facteur :
   En s'appuyant sur les travaux d'Araújo, Dymek et Kułaga-Przymus [1], les auteurs établissent que toute mesure d'entropie maximale est concentrée sur un ensemble saturé $Y \subset X_\mathcal{B}$. Cet ensemble consiste en des configurations dont le support omet exactement une classe de congruence modulo chaque idéal $b_\ell$.
   Une « application de phase » Borel, équivariante $\theta: Y \to G$ est définie, où $G = \prod_{\ell \ge 1} \mathcal{O}_K/b_\ell$ est un groupe abélien compact. Le système $(G, T)$ sous l'action de rotation est univoquement ergodique avec une entropie nulle. D'après la formule d'addition d'Abramov–Rokhlin pour les actions de groupes amènes, l'entropie de toute mesure $\nu$ sur $Y$ projetant vers la mesure de Haar $P$ sur $G$ est égale à son entropie relative sur le facteur de rotation : $h_\nu(S) = h_\nu(S \mid \mathcal{F}_\theta)$.

2. L'Énoncé de Rigidité :
   Le problème se réduit à prouver que parmi toutes les mesures projetant vers $P$, l'entropie relative est bornée par la densité des positions autorisées $D = \prod (1 - 1/N(b_\ell))$, avec égalité si et seulement si la mesure est une mesure spécifique $\kappa$.

3. Deux Preuves Indépendantes de la Rigidité :
   Les auteurs fournissent deux preuves distinctes de cet énoncé de rigidité :

   • Argument d'Entropie Relative (Section 4) : Cette preuve utilise une approche d'entropie conditionnelle sur un site unique. En fixant un ordre lexicographique sur $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^d$, l'entropie relative est exprimée comme l'entropie conditionnelle d'un site unique étant donné son passé et la phase. Les auteurs montrent que la maximisation de cette entropie force la probabilité conditionnelle qu'un site soit « autorisé » (1) à être exactement de $1/2$ (une pièce de monnaie équilibrée) dès lors que le site n'est pas interdit par la phase. Cela détermine de manière unique la mesure comme un produit de pièces de monnaie indépendantes et équilibrées sur l'ensemble autorisé.
   • Induction et Division via un Pavage Exact (Section 5) : Cette preuve adapte le schéma d'induction et de division (« induce-and-split ») de Peckner [16] au cadre multidimensionnel. Puisque $\mathcal{O}_K$ ne possède pas de carte de premier retour (contrairement à $\mathbb{Z}$), les auteurs remplacent l'induction par un pavage exact de $\mathcal{O}_K$ par des cubes. Ils définissent un processus de « super-symboles » sur le sous-réseau des origines des tuiles. La preuve démontre qu'à l'entropie maximale, l'entropie relative du système est égale à l'entropie des super-symboles, ce qui force à son tour les super-symboles à être conditionnellement indépendants et uniformément distribués sur les configurations autorisées au sein de chaque tuile. Cette structure implique que la mesure est une extension relativement indépendante de la rotation de base avec des fibres de Bernoulli.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 1.3 (Résultat Principal) : Le sous-chemin $B$-libre $(X_\mathcal{B}, S)$ est intrinsèquement ergodique. Il possède une unique mesure d'entropie maximale, notée $\kappa$.

  • Identification Explicite : $\kappa$ est construite comme la poussée vers l'avant de la mesure produit $P \otimes \beta$ (où $P$ est la mesure de Haar sur $G$ et $\beta$ est la mesure de Bernoulli uniforme sur $\{0,1\}^{\mathcal{O}_K}$) via une application de codage $\Phi(g, \omega) = \phi(g) \cdot \omega$.
  • Valeur de l'Entropie : L'entropie topologique est $h_{top}(X_\mathcal{B}) = \prod_{\ell \ge 1} (1 - 1/N(b_\ell))$. La mesure $\kappa$ atteint cette entropie.
  • Structure : Conditionnée sur une phase de Haar aléatoire $g \in G$, $\kappa$ place des pièces de monnaie équilibrées indépendantes sur les positions autorisées $A_g$ (celles qui ne sont pas congruentes à $-g_\ell \pmod{b_\ell}$) et des zéros ailleurs.
  • Singularité : $\kappa$ est mutuellement singulière avec la mesure de Mirsky $\nu_\eta$. Alors que $\nu_\eta$ correspond à la configuration « tout à un » sur les sites autorisés (entropie nulle), $\kappa$ correspond à une configuration aléatoire (entropie positive).

• Corollaire 1.4 (Généralisations) : En conséquence du Théorème 1.3 et du fait que l'ergodicité intrinsèque est un invariant de conjugaison topologique, l'article établit l'ergodicité intrinsèque pour :

  • Les sous-chemins de points de réseau $k$-libres (Pleasants–Huck, Huck–Baake).
  • Les sous-chemins de points de réseau $B$-libres (Baake–Huck).
  • Les sous-chemins de nombres $k$-libres (Cellarosi–Vinogradov).

• Équidistribution (Corollaire 6.1) : L'article prouve que les motifs admissibles uniformément aléatoires sur de grands boîtes de Følner équidistribuent selon la mesure $\kappa$.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir la première preuve de l'ergodicité intrinsèque pour les systèmes $B$-libres au-delà de la dimension un. Il résout le problème ouvert pour les entiers $B$-libres dans les corps de nombres et les contextes de réseaux apparentés.

Les auteurs soulignent la « véritable rigidité » du résultat : malgré le fait que le système soit héréditaire et supporte un grand simplet de mesures invariantes, la structure arithmétique impose une mesure unique « la plus chaotique ». Cette mesure est structurellement distincte de la mesure de Mirsky arithmétiquement naturelle (qui est une rotation), mais elle est intimement liée à celle-ci en tant qu'extension relativement indépendante. L'ouvrage démontre que l'« ordre » de la rotation arithmétique et le « chaos » de la mesure d'entropie maximale peuvent coexister, cette dernière étant l'unique maximiseur d'entropie. Les techniques de preuve, particulièrement l'adaptation du schéma d'induction et de division au cadre multidimensionnel via des pavages exacts, sont présentées comme des contributions méthodologiques significatives.