Intrinsic ergodicity for $\mathfrak{B}$-free integers in number fields

技術的要約：数体におけるB自由整数に対する内在的エルゴード性

問題設定
本論文は、数体の文脈における$B$自由部分シフトの内在的エルゴード性の問題に取り組んでいる。$B$自由系の構造的性質（生成性、位相的エントロピー、許容性、および近接性）は、古典的な平方フリー整数（$K=\mathbb{Q}$）、$k$自由格子点、および$B$自由格子点を含む様々な設定において確立されているが、最大エントロピー測度の唯一性（内在的エルゴード性）は、多次元および数体の設定においては未解決の問題であった。

具体的には、$K$を代数体、$\mathcal{O}_K$をその整数環とし、$\mathcal{B} = \{b_\ell\}_{\ell \ge 1}$をエルデシュ・ファミリーのイデアルの集合（無限、互いに素、かつ $\sum 1/N(b_\ell) < \infty$ を満たすもの）とする。関連する$B$自由部分シフト $(X_\mathcal{B}, (S_a)_{a \in \mathcal{O}_K})$ は、正の位相的エントロピーを持つヘレディタリーな系である。この系は「ミルスキー測度」$\nu_\eta$（コンパクトな回転群上のハール測度の押し出し）を持つことが知られているが、これはゼロのコルモゴロフ・シナイ・エントロピーを持つ。中心となる問いは、最大エントロピーを持つ不変測度が存在するか、存在する場合、それを明示的に特定できるか、ということである。

手法
証明は、一連の簡約化に続いて、核となる剛性に関する二つの独立した証明へと進む。

1. 飽和集合への簡約化と因子写像:
   Araújo, Dymek, および Kułaga-Przymus [1] の研究に基づき、著者らは、任意の最大エントロピー測度が飽和集合 $Y \subset X_\mathcal{B}$ に集中することを確立する。この集合は、各イデアル $b_\ell$ モジュロでちょうど一つの剰余類を除外する構成からなる。ボレル可測で共変な「位相写像」$\theta: Y \to G$ が定義される。ここで $G = \prod_{\ell \ge 1} \mathcal{O}_K/b_\ell$ はコンパクトなアーベル群である。回転作用下の系 $(G, T)$ は、ゼロのエントロピーを持つ一意エルゴード的である。アーメナブル群作用におけるAbramov–Rokhlinの加法公式により、回転因子上の $Y$ 上の任意の不変測度 $\nu$ のエントロピーは、回転因子に対する相対エントロピー $h_\nu(S) = h_\nu(S \mid \mathcal{F}_\theta)$ に等しい。

2. 剛性に関する命題:
   問題は、$P$（$G$上のハール測度）に射影されるすべての測度の中で、相対エントロピーが許容位置の密度 $D = \prod (1 - 1/N(b_\ell))$ によって抑えられ、かつ等号が成立するのは特定の測度 $\kappa$ である場合に限ることを証明することに帰着する。

3. 剛性に関する二つの独立した証明:
   著者らは、この剛性に関する命題に対して二つの異なる証明を提供する：

• 相対エントロピーによる議論 (Section 4): この証明は、単一サイトの条件付きエントロピーのアプローチを利用する。$\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^d$ 上の辞書式順序を固定することで、相対エントロピーは、過去および位相を与えられたときの単一サイトの条件付きエントロピーとして表現される。著者らは、このエントロピーを最大化することが、サイトが（位相によって）禁止されていない限り、サイトが「許容される」（1となる）条件付き確率を正確に $1/2$（公平なコイン投げ）に強制することを示す。これにより、この測度は許容集合上の独立な公平なコイン投げとして一意に決定される。
• 正確なタイリングによる誘導と分割 (Section 5): この証明は、Pecknerのinduce-and-splitスキーム [16] を多次元の設定へと適応させたものである。$\mathcal{O}_K$ は（$\mathbb{Z}$ とは異なり）初帰還写像を持たないため、著者らは誘導の代わりに、$\mathcal{O}_K$ による立方体による正確なタイリングを用いる。彼らはタイル原点の部分格子上の「スーパーシンボル」過程を定義する。証明は、最大エントロピーにおいて、系の相対エントロピーがスーパーシンボルのエントロピーに等しくなり、それがさらにスーパーシンボルが条件付き独立であり、かつ各タイル内の許容構成上で一様に分布することを強制することを示す。この構造は、測度が基底となる回転の相対独立な拡張であることを意味する。

主要な貢献と結果

• 定理 1.3 (主要な結果): $B$自由部分シフト $(X_\mathcal{B}, S)$ は内在的にエルゴード的である。それは $\kappa$ と記される一意の最大エントロピー測度を持つ。

  • 明示的な特定: $\kappa$ は、積測度 $P \otimes \beta$（ここで $P$ は $G$ 上のハール測度、$\beta$ は $\{0,1\}^{\mathcal{O}_K}$ 上の一様ベルヌーイ測度）をコーディング写像 $\Phi(g, \omega) = \phi(g) \cdot \omega$ によって押し出したものとして構成される。
  • エントロピーの値: 位相的エントロピーは $h_{top}(X_\mathcal{B}) = \prod_{\ell \ge 1} (1 - 1/N(b_\ell))$ である。測度 $\kappa$ はこのエントロピーを達成する。
  • 構造: ハールランダムな位相 $g \in G$ に条件付けると、$\kappa$ は許容集合 $A_g$（$-g_\ell \pmod{b_\ell}$ に合同でないもの）の上に独立な公平なコインを置き、それ以外にはゼロを置く。
  • 特異性: $\kappa$ はミルスキー測度 $\nu_\eta$ と互いに特異である。$\nu_\eta$ は許容サイト上の「全一」の構成（ゼロ・エントロピー）に対応するが、$\kappa$ はランダムな構成（正のエントロピー）に対応する。

• 系 1.4 (一般化): 定理 1.3 および内在的エルゴード性が位相的共役不変量であるという事実の結果として、本論文は以下の内在的エルゴード性を確立する：

  • $k$自由格子点部分シフト (Pleasants–Huck, Huck–Baake)。
  • $B$自由格子点部分シフト (Baake–Huck)。
  • $k$自由数体部分シフト (Cellarosi–Vinogradov)。

• 一様分布 (系 6.1): 本論文は、大きなフォーナー・ボックス上の一様にランダムな許容パターンが、測度 $\kappa$ に従って一様に分布することを証明している。

意義と主張
本論文は、次元1を超えた$B$自由系における内在的エルゴード性の最初の証明を提供すると主張している。これは、数体における$B$自由整数および関連する格子設定における未解決問題を解決するものである。

著者らは、この結果の「真の剛性」を強調している：系はヘレディタリーであり、不変測度の大きな単体（simplex）をサポートしているにもかかわらず、算術的構造が唯一の「最もカオスな」測度を強制する。この測度は、算術的に自然なミルスキー測度（それは回転である）とは構造的に異なるが、相対独立な拡張としてそれと密接に関連している。本研究は、算術的回転の「秩序」と、最大エントロピー測度の「カオス」が共存し得ること、そして後者が一意の最大化因子であることを示している。特に、正確なタイリングを用いたinduce-and-splitスキームの多次元設定への適応といった証明技法は、重要な方法論的貢献として提示されている。