Regularity for the fractional logarithmic $p$-Laplacian

技术摘要：分数阶对数 $p$-Laplacian 的正则性

问题设置与动机
本研究探讨了非局部方程的局部正则性理论，该方程为：
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u = f \quad \text{在 } \Omega \text{ 内},$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 是一个有界开集，$f \in L^q_{loc}(\Omega)$ 且 $q > 1$，算子 $(-\Delta_p)^{s+\log}$ 定义为分数阶 $p$-Laplacian $(-\Delta_p)^t$ 对阶数 $t$ 在 $t=s \in (0,1)$ 处的一阶导数：
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u(x) := \frac{d}{dt}(-\Delta_p)^t u(x) \Big|_{t=s}.$$
该算子在研究分数阶算子随阶数变化的渐近行为时自然出现。由于端点情况 $s=0$（对数 Laplacian）已被广泛研究（例如 Chen-Weth, Dyda-Jarohs-Sk），因此对于 $s \in (0,1)$ 的内部情况，特别是在 $p \neq 2$ 的拟线性设定下，代表了一个由 Chen-Chen-Hauer 发起的全新方向。

该算子的核 $K_{s+\log}(r)$ 表现出两个区别于标准分数阶 $p$-Laplacian 的关键特征：

1. 增加的奇异性： 在对角线附近（$r \to 0$），核的行为类似于 $r^{-d-sp} \log(1/r)$，比标准的 $r^{-d-sp}$ 更具奇异性。
2. 符号改变： 在大尺度下，核会改变符号。具体而言，当 $r \geq e^{B_{d,s,p}/p}$ 时，$K_{s+\log}(r) \leq 0$。这种符号改变的性质使分析非局部相互作用变得复杂，因为标准分数阶理论中用于控制远场贡献的“尾部”（tail）项不再足以应对。

方法论
作者将经典的 De Giorgi-Nash-Moser 理论应用于这一特定的非局部设定。其策略涉及为了处理对数权重和符号改变的核而进行的若干非平凡修改：

1. 核与尾部的分解：
   由于符号改变，单一的非局部尾部项已不足够。核被分解为一个分数部分和两个符号确定的对数部分：$K_{s+\log} \sim r^{-d-sp} + K^+_{s+\log} - K^-_{s+\log}$。因此，作者引入了两个不同的尾部项来捕捉远场效应：

   • $Tail_+(u; x_0, R)$：捕捉对数权重为正的相互作用（中间尺度）。
   • $Tail_-(u; x_0, R)$：捕捉对数权重为负的相互作用（远场）。
     分析揭示了一种特定的对偶关系：对于次解（subsolutions），解的正部分与负核部分耦合，反之亦然。这需要在估计中对尾部进行配对，具体为 $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$。

2. 能量估计与迭代：
   证明依赖于建立 Caccioppoli 不等式和对数能量估计。一个关键的技术障碍是核的对数增长，这在局部能量估计中引入了因子 $(1 - \log r)$。为了管理这一点，作者利用了一个分数阶对数 Poincaré 不等式（命题 2.5），该不等式提供了一个匹配的衰减因子，使得 De Giorgi 迭代能够以尺度不变的方式进行。

3. 处理源项：
   对于存在 $f \in L^q_{loc}$ 且 $q > d/sp$（标度亚临界）的情况，需要仔细处理积分指数。作者引入了一个参数$\sigma$ 以确保迭代引理所需的严格不等式，从而防止在临界情况下发生的崩溃。

主要贡献与结果

1. 带尾部的 Harnack 不等式（定理 1.2）：
   本文为非负弱解建立了 Harnack 不等式。与分数阶 $p$-Laplacian 不同（其中全局非负性消除了尾部项），此处符号改变的核确保了即使在 $u \geq 0$ 全局成立的情况下，尾部项依然存在。该不等式形式为：
   $$\text{ess sup}_{B_{r/2}} u \leq C \left( \text{ess inf}_{B_r} u + \text{Tail Terms} + \text{Source Terms} \right).$$
   至关重要的是，尾部项涉及特定的配对 $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$，反映了核的符号改变结构。作者通过构造一个解支撑在感兴趣区域之外的反例，证明了这些尾部项在一般情况下无法被移除，即使对于非负解也是如此。

2. 局部 Hölder 正则性（定理 1.4）：
   作者证明了弱解是局部 Hölder 连续的。Hölder 指数 $\alpha$ 取决于维度 $d$、阶数 $s$、指数 $p$ 以及源项 $f$ 的可积性 $q$。该估计包含一个随半径 $r$ 衰减的连续模量，并由对数因子和尾部项进行缩放。

3. 无尾部 Harnack 不等式的反例：
   在第 7 节中，作者构造了一个特定示例（针对 $p=2$），证明如果解支撑在球 $B_R$ 之外，则 Harnack 不等式中的尾部项是不可避免的。这证实了由于核的符号改变，标准分数阶 Laplacian 在全局非负性下所具有的“无尾部”Harnack 不等式对于分数阶对数算子并不成立。

意义与主张
论文声称，即使在线性情况 $p=2$ 下，这些结果也是全新的。这项工作将正则性理论扩展到一类在特定渐近意义上属于“零阶”但其核在对角线附近比标准分数阶 Laplacian 更奇异、且在无穷远处改变符号的算子。

作者强调，对数因子的存在和符号改变从根本上改变了正则性估计的结构，要求引入双重尾部项以及特定的对数衰减因子。这些结果为这类非局部方程提供了系统的局部正则性理论，肯定了关于是否存在 Harnack 不等式以及弱解 Hölder 连续性的问题。该工作并未声称建立边界正则性或全局连续性，指出这些需要超出当前范围的单独屏障（barrier）论证。