Regularity for the fractional logarithmic $p$-Laplacian

Resumen Técnico: Regularidad para el $p$-Laplaciano Logarítmico Fraccionario

Configuración del Problema y Motivación
Este trabajo investiga la teoría de regularidad local para soluciones débiles de la ecuación no local:
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u = f \quad \text{en } \Omega,$$
donde $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ es un conjunto abierto acotado, $f \in L^q_{loc}(\Omega)$ con $q > 1$, y el operador $(-\Delta_p)^{s+\log}$ se define como la derivada de primer orden del $p$-Laplaciano fraccionario $(-\Delta_p)^t$ con respecto al orden $t$, evaluada en $t=s \in (0,1)$. Específicamente:
$$(-\Delta_p)^{s+\log} u(x) := \frac{d}{dt}(-\Delta_p)^t u(x) \Big|_{t=s}.$$
El operador surge naturalmente en el estudio del comportamiento asintótico de los operadores fraccionarios a medida que el orden varía. El caso límite $s=0$ (el Laplaciano logarítmico) ha sido estudiado extensamente (por ejemplo, Chen-Weth, Dyda-Jarohs-Sk), pero el caso interior $s \in (0,1)$, particularmente para el entorno quasilineal $p \neq 2$, representa una nueva dirección iniciada por Chen-Chen-Hauer.

El núcleo de este operador, $K_{s+\log}(r)$, exhibe dos características críticas que lo distinguen del $p$-Laplaciano fraccionario estándar:

1. Singularidad Incrementada: Cerca de la diagonal ($r \to 0$), el núcleo se comporta como $r^{-d-sp} \log(1/r)$, lo cual es más singular que el $r^{-d-sp}$ estándar.
2. Cambio de Signo: A grandes escalas, el núcleo cambia de signo. Específicamente, $K_{s+\log}(r) \leq 0$ para $r \geq e^{B_{d,s,p}/p}$. Esta naturaleza de cambio de signo complica el análisis de las interacciones no locales, ya que los términos de "cola" (tail terms) estándar utilizados en la teoría fraccionaria ya no bastan para controlar las contribuciones de campo lejano.

Metodología
Los autores adaptan la teoría clásica de De Giorgi-Nash-Moser a este entorno no local específico. La estrategia implica varias modificaciones no triviales para manejar el peso logarítmico y el núcleo con cambio de signo:

1. Descomposición del Núcleo y las Colas:
   Debido al cambio de signo, un solo término de cola no local es insuficiente. El núcleo se descompone en una parte fraccionaria y dos partes logarítmicas con signo definido: $K_{s+\log} \sim r^{-d-sp} + K^+_{s+\log} - K^-_{s+\log}$. En consecuencia, los autores introducen dos términos de cola distintos para capturar los efectos de campo lejano:

   • $Tail_+(u; x_0, R)$: Captura las interacciones donde el peso logarítmico es positivo (escalas intermedias).
   • $Tail_-(u; x_0, R)$: Captura las interacciones donde el peso logarítmico es negativo (campo lejano).
     El análisis revela una dualidad específica: para las subsoluciones, la parte positiva de la solución se acopla con la parte negativa del núcleo, y viceversa. Esto requiere un emparejamiento de colas en las estimaciones, específicamente $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$.

2. Estimaciones de Energía e Iteración:
   La prueba se basa en establecer una desigualdad de Caccioppoli y una estimación de energía logarítmica. Un obstáculo técnico clave es el crecimiento logarítmico del núcleo, que introduce factores de $(1 - \log r)$ en las estimaciones de energía local. Para gestionar esto, los autores utilizan una desigualdad de Poincaré logarítmica fraccionaria (Proposición 2.5) que proporciona un factor de decaimiento correspondiente, permitiendo que la iteración de De Giorgi proceda de manera invariante de escala.

3. Manejo del Término Fuente:
   La presencia de $f \in L^q_{loc}$ con $q > d/sp$ (escalamiento subcrítico) requiere un manejo cuidadoso del exponente de integrabilidad. Los autores introducen un parámetro $\sigma$ para asegurar las desigualdades estrictas necesarias para la convergencia de los lemas de iteración, evitando el colapso que ocurre en el caso crítico.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Desigualdad de Harnack con Colas (Teorema 1.2):
   El artículo establece una desigualdad de Harnack para soluciones débiles no negativas. A diferencia del $p$-Laplaciano fraccionario, donde la no negatividad global elimina el término de la cola, el núcleo con cambio de signo aquí asegura que los términos de cola persistan incluso si $u \geq 0$ globalmente. La desigualdad toma la forma:
   $$\text{ess sup}_{B_{r/2}} u \leq C \left( \text{ess inf}_{B_r} u + \text{Términos de Cola} + \text{Términos Fuente} \right).$$
   Crucialmente, los términos de cola involucran el emparejamiento específico $Tail_+(u^-) + Tail_-(u^+)$, reflejando la estructura de cambio de signo del núcleo. Los autores demuestran que estos términos de cola no pueden eliminarse en general, incluso para soluciones no negativas, construyendo un contraejemplo donde la solución está soportada fuera del dominio de interés.

2. Regularidad de Hölder Local (Teorema 1.4):
   Los autores demuestran que las soluciones débiles son localmente Hölder continuas. El exponente de Hölder $\alpha$ depende de la dimensión $d$, el orden $s$, el exponente $p$ y la integrabilidad $q$ del término fuente $f$. La estimación incluye un módulo de continuidad que decae con el radio $r$, escalado por factores logarítmicos y los términos de cola.

3. Contraejemplo a la Desigualdad de Harnack sin Cola:
   En la Sección 7, los autores construyen un ejemplo específico (para $p=2$) demostrando que si una solución está soportada fuera de la bola $B_R$, el término de cola en la desigualdad de Harnack es inevitable. Esto confirma que la desigualdad de Harnack "sin cola", conocida para el Laplaciano fraccionario estándar bajo no negatividad global, no se cumple para el operador logarítmico fraccionario debido al cambio de signo del núcleo.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que estos resultados son nuevos incluso en el caso lineal $p=2$. El trabajo extiende la teoría de regularidad a una clase de operadores que son de "orden cero" en un sentido asintótico específico, pero que poseen un núcleo más singular que el Laplaciano fraccionario estándar cerca de la diagonal y con cambio de signo en el infinito.

Los autores enfatizan que la presencia del factor logarítmico y el cambio de signo alteran fundamentalmente la estructura de las estimaciones de regularidad, requiriendo la introducción de términos de cola duales y factores de decaimiento logarítmico específicos en las cotas. Los resultados proporcionan una teoría de regularidad local sistemática para esta clase de ecuaciones no locales, respondiendo afirmativamente a las preguntas sobre la existencia de desigualdades de Harnack y la continuidad de Hölder para soluciones débiles. El trabajo no pretende establecer la regularidad en la frontera o la continuidad global, señalando que estas requieren argumentos de barrera (barriers) ajenos al alcance actual.